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Proposition
Une transfonnation orthogonale f, de matrice associée Af, conserve la norme (c'est une
isométrie) :
V Û = (x, y) E R
2 : llf(il)ll = llûll
ce qui se traduit matriciellement par :
VÛ = (x,y) E lR
2 : llA1illl = llûll
Démonstration : Il suffit d'utiliser le fait qu'une transformation 01thogonale conserve
Je produit scalaire :
V Ü = (x, y) E lR
2 : Af il· A f i1. = llûll · llûll
•
Proposition
Une matrice orthogonale A.r peut aussi être caractérisée par la propriété suivante :
V Ü E lR
2 : llAf ûll = llûll
qui signifie que l'application linéaire associée f conserve la norme (c'est une isométrie).
Démonstration : On montre que cette propriété est équivalente à i. :
• Si f conserve Je produit scalaire, on a vu que :
VÜE lR
2 : llAfûll =llûll
• Réciproquement, si f conserve la norme, on peut utiliser l'identité de polarisation :
V (ïl, Û) E lR
2 x R
2 : Û · v = ~ {llû + ûll
2 - llïl - ûl1
2 }
et:
V(ïl,Û) E JR
2 x R
2
: AJïl·AJÛ = ~ {11 AJû + Afûll
2 - llAJïl - Afûl1
2
}
Par suite:
V(Û,Û) E R
2 x R
2 : AJÛ·AJÛ = ~ {ll AJ(Û + Û)ll
2 - llAJ(i1. - û' Jl1
2 }
puis:
V(Ü,Û) E JR.2 x JR
2 : A.ril·AJÜ = l {11û+ûll
2 -llil - i Jl 1
2 }=il·iJ
D'où le résultat.
Proposition
Si A est une matrice orthogonale, alors A est de la forme :
où fJ est un réel, et :
Définition
(
cos fJ - E: sin fJ)
sine E: cos e
s = L'ensemble des transformations orthogonales de JR.
2 de déterminant égal à 1 est appelé
groupe spécial orthogonal de R
2 , et noté SO(IRS.
2 ).
•
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