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Opérateurs orthogonaux
en dimension 2
1. Définition
On appelle opérateur orthogonal du plan ffi 2 , ou transformation orthogonale du
plan ffi
2 , une transformation linéaire f de JR.
2 , de matrice AJ, qui vérifie l'une des trois
propriétés équivalentes suivantes :
• f conserve le produit scalaire :
v ca, ï!J E IR
2 x IR
2 : fCïl) . fCï!J = a· 'il
•
• les vecteurs colonnes C 1 , C2 de AJ constituent une base orthonormale, c'est-à-dire
une famille libre de vecteurs deux à deux orthogonaux et de norme 1 :
V(i,j) E {1, 2}
2 : Ci· C j = Ôij
On dit alors que la matrice A f est orthogonale.
~ 1. Dire que f conserve le produit scalaire s'explicite donc de la façon suivante:
V û = (;) E R
2
• V ïJ = (:) E R
2
: Arû. A f V = A.r ( ;). Ar ( ;: )
= Ü· Û=xx' + yy'
avec:
A û . A ü = ( a 1 1 a 12 ) ( x ) . ( a 1 1 a 12 ) . ( x' ) = ( a 1 1 x + a 12 y ) . ( a 1 1 x' + a 1 2 y' )
f
f
a2 1 a22
y
a21 a12
y'
a21 x + a22 y
a21 x' + a21 y'
2. les vecteurs colonnes C1, C 2 de A .r = (aiJ) .
2
.
2
E M 1 (R) sont:
l,;;1,;; . l,;;1,;;
c 1 = (all) , c 2 = (a12)
a21
a22
C1 · C 2 ==(a")· (a'
2
) = a11 a12 + a21 a22
a21
a22
Ainsi :
La norme du premier vecteur colonne est : llC 1 li == aT 1 + a~ 1 •
La norme du deuxième vecteur colonne est: llC2ll == ~aT 2 + a~ 2 .
L'ensemble des transformations orthogonales de JR.
2 est appelé groupe orthogonal de
JR. 2 , et noté O(JR. 2 ) .
2. Propriétés
Proposition
Si A est une matrice orthogonale, alors :
detA = ± 1
Démonstration :
268
•