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ce qui conduit à :
ou encore:
Définition
Deux transformations linéaires f et g de R 2 , de matrices associées A f et Ag dans une
même base 13, sont dites conjuguées s' il existe une transformation linéaire bijective
'P de R
2 , de matrice associée Acp, appelée conjugaison, telle que :
foip = cpog
ce qui, matriciellement, se traduit par : A f Acp = A'P A 9 , ou encore, puisque Acp est
inversible :
Les matrices A.r et Ag sont dites semblables.
Proposition
Deux matrices semblables ont même déterminant.
Démonstration : Soient A et B deux matrices semblables, de taille 2 x 2.
D' après ce qui précède, il existe une matrice inversible P telle que:
p-t AP = B
Il en résulte :
det(B) = det(P1 A P) = det(A p - t P) = det(A)
2. Déterminant d'une application linéaire de IR. 2
Définition
On apelle déterminant d'une transformation liné<ùre f de R
2 le déterminant de sa
matrice dans la base canonique, ou, de façon équivalente, dans une base quelconque 13.
•
La valeur du déterminant d' une transformation li néaire f de R
2 ne dépend effectivement pas
de la base choisie : si 13 et 13' sont deux bases du plan ~
2
, les matrices A 13 (.f) et A 13 , (f), qui
représentent donc la même application linéaire dans deux bases différent.es, sont semblables,
et ont donc même déterminant.
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