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Conjugaison - Matrices semblables
de taille 2 x 2
Il a été vu précédemment que, pour une base donnée, il existe une unique matrice associée à une application linéaire f.
Il peut être intéressant de donner les relations pem1ettant de passer de la matrice A13(f)
associée à f dans une base 13, à la matrice A.s' (f) associée à f dans une autre base 13'.
1. Matrices semblables
Considérons les bases 13 = (ê 1 , ê 2 ) et 13' = (ei 1 , ei 2 ) de IR. 2 .
On désigne par AB(f) = (ai;) . 2
. . 2
la matrice associée à f dans la base 13, et par
. 1 ~1 ~ ' 1 ~,~
A13' (f) = (aij) . . la matrice associée à f dans la base 13'.
1 ~1~2, 1 ~J~2
On appelle P11~1:3' la matrice de passage de 13à13'.
Soit û un vecteur de IR. 2 . On désigne par (û) 13 = ( x . i ) ses coordonnées dans 13, et par
X2
(û) 13 , = ( ~1 ) ses coordonnées dans 13'; de même, on désigne par (j(Ü)) 13 les coordonnées de f(Ü) dans 13, et par (j(Ü)) 13 , les coordonnées de j(Ü) dans 13'.
Alors:
(j(Ü) )13 = A13(f) (it)E
= A13(f) P13~.s' (ïl)1.f
Mais on a aussi :
et :
Il en résulte :
Comme
on a donc:
ou encore:
Le vecteur û étant quelconque, on en déduit, en choisissant successivement pour z1 chacun des vecteurs de 13, la nullité de chaque colonne de A 13 (f) - P A 2 ,(f) p-I :
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Conjugaison - Matrices semblables
de taille 2 x 2
Il a été vu précédemment que, pour une base donnée, il existe une unique matrice associée à une application linéaire f.
Il peut être intéressant de donner les relations pem1ettant de passer de la matrice A13(f)
associée à f dans une base 13, à la matrice A.s' (f) associée à f dans une autre base 13'.
1. Matrices semblables
Considérons les bases 13 = (ê 1 , ê 2 ) et 13' = (ei 1 , ei 2 ) de IR. 2 .
On désigne par AB(f) = (ai;) . 2
. . 2
la matrice associée à f dans la base 13, et par
. 1 ~1 ~ ' 1 ~,~
A13' (f) = (aij) . . la matrice associée à f dans la base 13'.
1 ~1~2, 1 ~J~2
On appelle P11~1:3' la matrice de passage de 13à13'.
Soit û un vecteur de IR. 2 . On désigne par (û) 13 = ( x . i ) ses coordonnées dans 13, et par
X2
(û) 13 , = ( ~1 ) ses coordonnées dans 13'; de même, on désigne par (j(Ü)) 13 les coordonnées de f(Ü) dans 13, et par (j(Ü)) 13 , les coordonnées de j(Ü) dans 13'.
Alors:
(j(Ü) )13 = A13(f) (it)E
= A13(f) P13~.s' (ïl)1.f
Mais on a aussi :
et :
Il en résulte :
Comme
on a donc:
ou encore:
Le vecteur û étant quelconque, on en déduit, en choisissant successivement pour z1 chacun des vecteurs de 13, la nullité de chaque colonne de A 13 (f) - P A 2 ,(f) p-I :
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