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Le fait que la formule de changement de base s'exprime sous la forme (ü) 13 = P 13,.,,,,131 (ü) 13 ,
peut paraître déroutant : il n'en est rien. Une illustration très intéressante peut être obtenue
pour la réduction de l'équation d'une conique .
Exemple
Considérons la courbe plane, d'équation 3 x
2 + 3 y
2 - 2 x y = 8 dans un repère orthonormé
direct. La présence des « termes croisés » - 2 x y ne facilite pas l'étude de la conique : un
changement de base permet de faire disparaître celui-ci.
On effectue le changement de coordonnées :
X+Y
x = - -
-../2
X - Y
y= -../2
En injectant ces expressions dans l'équation de la conique, on obtient: X
2 + 2 Y
2
= 4.
Il est alors plus facile de déterminer la nature de la courbe (une ellipse).
Il est clair que, connaissant l'équation dans le repère initial, la démarche naturelle est d'exprimer les coordonnées de départ (x, y), en fonction des nouvelles coordonnées (X, Y) , et non le
contraire:
( x)= -l (1 l )(X)
y
-../2 l - 1 y
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