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u
Changement de base en dimension 2,
et déterminant d'une application
linéaire
1. Matrice de passage
Soient 13 = ( ê 1 , ê 2 ) et 13' = ( e 1
1 , e 1 2 ) deux bases de IR
2 .
On désigne par p 11 et p2 1 les composantes de e 1 1 suivant ë 1 et ë2 :
1
->
->
e t = P 11 e 1 + P21 e2
et par P12 et p22 les composantes de e 1 2 suivant ê1 et ê2 :
e\ = P12 ê 1 + P22 ê2
On désigne par P 'B-.'B' la matrice P'B-.'B' = ( Pli P
12 ), c'est-à-dire la matrice dont les
P21 P22
vecteurs colonnes représentent les coordonnées (ou composantes) des vecteurs e 1
1 et e 1
2
dans la base P13-+13' est appelée matrice de passage de 13 à 13'.
2. Formule de changement de base pour un vecteur
Soit ü un vecteur de IR
2 . On désigne par (ü) 21 = ( ~~ ) ses coordonnées dans (ü)13, = ( ~l ) ses coordonnées dans soit:
Démonstration :
->
' ->
' ->
u =
x 1 e' l + x 2 e' 2
= Xi (p11 ê1 + P21 ë2) + x; (p12 ë1 + P22 ê2)
= (Xi Pli + x; P1 2) ê, + (4 P21 + x; P22) ê2
Comme ü = x 1 ê 1 + x2 ê2, alors, par unicité de la décomposition de ü dans que l'on peut encore écrire:
264
{
XJ = Xip11 + x;p1 2
x2 = 4 P21 + x;p22
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