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Image
Définition
On apelle image d' une transformation linéaire f de R
2 , que l' on noteimf l' ensemble
des images des vecteurs de R
2 par f :
>- Propriétés
Définition
Imf = {!cü),ü E R
2 }
Une transformation linéaire de R 2 est dite injective si :
V (il, iJ) E R
2 X R
2 : f(il) = f(iJ) ~ il= iJ
Théorème
Une transformation linéaire de R 2 est injective si son noyau est réduit au vecteur nul:
Ker f = {o}
Démonstration : Ce résultat découle de la linéarité de f .
Définition
Une transformation linéaire de R 2 est dite surjective si : V û E R 2 , 3 îJ E R
2 : i1 = f(iJ).
>- Automorphisme
Définition
Une transformation linéaire de R 2 est un automorphisme de R 2 si elle est bijective.
Théorème du rang dans R 2 ou formule du rang
Théorème
Dans R
2 :
dimimf + dimKer f = 2.
dim I m f est le rang de f, noté aussi rg f.
Caractérisation des automorphismes de R 2
Théorème
Soit f une transformation linéaire de IR.
2 . Alors:
f injective ~ f surjective ~ f bijective.
•
Pour qu'une transformation linéaire f de IR.
2 soit un automorphisme de R
2 , il faut et il
suffit que Je déterminant de sa matrice As(f) dans une base :B quelconque soit non nul.
Sa réciproque f -
1 est alors une transformation linéaire de R 2 , de matrice dans 13:
As(f1 ) = (As(f))1
263
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