....
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0
u
Ainsi,
D'où le résultat.
(f(it)) = (a11 a12) (xi)
13
a21 a22
x2
•
Proposition
Une transformation linéaire de IR 2 est entièrement définie par la matrice qui lui est associée dans une base donnée.
Démonstration : Le résultat découle immédiatement de la proposition précédente : une
transformation linéaire de IR 2 est entièrement définie par ses valeurs sur une base donnée .
•
Définition
On appelle matrice d'une transformation linéaire f de ffi
2 , la matrice de f dans la
_, _,
base canonique (i, )). Elle sera notée, dans ce qui suit, sous la forme AJ:
AI = Matrice ~
Une transformation linéaire de R 2 étant entièrement définie par la matrice qui lui est associée
r:::J dans une base donnée, il est clair qu'il est préférable de se placer dans une base donnant une
'expression la plus agréable possible de la matrice: triangulaire, ou diagonale. Cela s'appelle
trigonaliser ou diagonaliser une application linéaire.
>- Propriétés
Composée de deux transformations linéaires
Proposition
La composée f o g de deux transfonnations linéaires f et g de IR 2 , de matrices associées
A:s(f) etA:s(g) dans une base 13 = (ê 1 , ê2) donnée, est une transformation linéaire de IR 2 ,
qui vérifie :
V Ü = (; ) E 1R
2 : (f o g)(ït) = f (g(il)) = A13(f) (A13(g) ü) = (A23(f) A'B(g)) il (*)
Ainsi, f o g a pour matrice, dans la base 13: A:s(f o g) = A:s(f)A:s(g).
Démonstration : Par le calcul ...
D 'après(* ): (f o g)(ê 1 ) = f(g (ê 1 )), puis on utilise A23(g) pour obtenir (f o g)(ê1)
comme combinaison linéaire de ë 1 et ê 2 , et on procède de même pour (f o g) (ê 2 ). On
peut alors construire la matrice de f o g dans 3, et constater, par le calcul, qu 'elle est
égale au produ. it A23(f) A23(g).
•
Noyau
Définition
On apelle noyau d'une transformation linéaire f de JR 2 , que l'on note Ker f (de l'allemand kern) l'ensemble des vecteurs de IR 2 dont l'image par f est le vecteur nul :
Ker f = {ü E IR
2 / f(il) = 0}
Par extension, le noyau d'u ne matrice A E M 2 (1R) est le noyau de l'application linéaire
associée à la matrice A.
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Ainsi,
D'où le résultat.
(f(it)) = (a11 a12) (xi)
13
a21 a22
x2
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Proposition
Une transformation linéaire de IR 2 est entièrement définie par la matrice qui lui est associée dans une base donnée.
Démonstration : Le résultat découle immédiatement de la proposition précédente : une
transformation linéaire de IR 2 est entièrement définie par ses valeurs sur une base donnée .
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Définition
On appelle matrice d'une transformation linéaire f de ffi
2 , la matrice de f dans la
_, _,
base canonique (i, )). Elle sera notée, dans ce qui suit, sous la forme AJ:
AI = Matrice ~
Une transformation linéaire de R 2 étant entièrement définie par la matrice qui lui est associée
r:::J dans une base donnée, il est clair qu'il est préférable de se placer dans une base donnant une
'expression la plus agréable possible de la matrice: triangulaire, ou diagonale. Cela s'appelle
trigonaliser ou diagonaliser une application linéaire.
>- Propriétés
Composée de deux transformations linéaires
Proposition
La composée f o g de deux transfonnations linéaires f et g de IR 2 , de matrices associées
A:s(f) etA:s(g) dans une base 13 = (ê 1 , ê2) donnée, est une transformation linéaire de IR 2 ,
qui vérifie :
V Ü = (; ) E 1R
2 : (f o g)(ït) = f (g(il)) = A13(f) (A13(g) ü) = (A23(f) A'B(g)) il (*)
Ainsi, f o g a pour matrice, dans la base 13: A:s(f o g) = A:s(f)A:s(g).
Démonstration : Par le calcul ...
D 'après(* ): (f o g)(ê 1 ) = f(g (ê 1 )), puis on utilise A23(g) pour obtenir (f o g)(ê1)
comme combinaison linéaire de ë 1 et ê 2 , et on procède de même pour (f o g) (ê 2 ). On
peut alors construire la matrice de f o g dans 3, et constater, par le calcul, qu 'elle est
égale au produ. it A23(f) A23(g).
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Noyau
Définition
On apelle noyau d'une transformation linéaire f de JR 2 , que l'on note Ker f (de l'allemand kern) l'ensemble des vecteurs de IR 2 dont l'image par f est le vecteur nul :
Ker f = {ü E IR
2 / f(il) = 0}
Par extension, le noyau d'u ne matrice A E M 2 (1R) est le noyau de l'application linéaire
associée à la matrice A.
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