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Pour toute transformation linéaire f du plan JR.
2 :
J(O) = ô
Exemples
1. L'application: f : JR 2 -? R. 2 , (x,y) H (x+ I,y) n'est pas linéaire.
2. L'application: f : JR
2 -? JR.
2 , (x, y) H (3 x, 3 y) est Jinéaire.
Proposition
Étant donnée une matrice A = (aiJ)
de taille 2 x 2, à coeffi cients réels, l'appli1 ~i~2. J ~J~2
cation :
fA : R2 ~ R2, (x) H A (x) =(a" x+a12Y )
y
y
a21 x + a22 Y
est Linéaire, et défi nit une transformation Linéaire de R
2 .
:> Matrice d'une transformation linéaire
Définition
On appelle matrice, dans une base :J3 = (éi., eï ) donnée, d'une transformation
linéaire f de m
2 , la matrice dont les vecteurs colonnes sont les coordonnées, dans !13,
des images des vecteurs de !13: M atriceB(f) = (f (eî ) , f (eî ))
Une application linéaire remarquable : l'application identité du plan R 2
Définition
On appelle application identité du plan ffi
2 l' applicatio n, notée l d-a2, de matrice
associée ]z : a E R 2 H a
Domaine de définition
Proposition
Une transformation linéaire de R 2 est entièrement définie par ses valeurs sur une base
donnée.
Démonstration : Soient f : R
2
~ R
2 une transformation linéaire, et !13 = (e( , é2) une
base de R
2 .
On suppose que les images des vecteurs e( et eî sont données, de la forme :
{
f(eî ) = a11 e( + a21 e2
f(e2) = a1 2 eî + a22 e2
Alors, pour tout vecteur ü = x 1 e( + x 2 eï de R
2 :
f (ïl) =
=
f(x, e( + xzéi)
x , f (eî) + Xz f (eï )
= x1 (a11 eï + a21 é2) + xz (a12 e( + a22 é2)
= (xi a, 1 + Xz a1 2) e( + (xi a21 + Xz a22) e2
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