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Bases et transformations linéaires
du plan
1. Bases
Définition
On appelle base du plan JR
2 toute famille libre de deux vecteurs de R
2 .
Exemple
Déterminons si la famille (il, Û) = ( ( 1), ( ~ 1
)) est une base de R.
2 ; pour cela, il suffi t de
calculer son déterminant:
det (il, Û) = -2 1: 0
(Û, Û) est une famille libre de deux vecteurs de R.
2 : c'est une base.
Définition
On appelle base canonique du plan R 2 Ja famille ({, ]), avec :
. . . ( 1) . . . (0)
z= 0 ' J - 1
Proposition
Soit !B = (ê1, ê2) une base de R 2 .
Pour tout vecteur ü de R 2 , il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de !B
égale à a: a= X) ê1 + X2 ê2 que l'on note aussi : (Ü)13 = ( ~~ )· Xj E R et X2 E R sont les
coordonnées (ou composantes) du vecteur ü dans la base !B.
Les composantes d'un vecteur (x, y) de R 2 dans Ja base canonique({, J) seront notées
(;).
2. Transformations linéaires du plan
>-- Définitions
Définition
On appelle transformation linéaire du plan R
2 , ou encore application linéaire du
plan R 2 , une application f, de R 2 dans R 2 , linéaire :
V (u, Û) E R
2 X R
2 , V À E R : f(Ü + À Û) = f(Û) + À f(Û)
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