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Définition
Dans le plan R
2 , l'aire orientée du parallélogramme engendré par deux vecteurs il* 0
et iJ * Ô est donnée par :
-11 = det (il, ù)
Proposition
Dans le plan R
2 , l'aire orientée du parallélogramme engendré par les vecteurs
Ü = (u 1 , u 2 ) et iJ = (v 1 , v 2 ) est égale à l'aire du parallélogramme engendré par les vecteurs
ïl et ïJ + ,l il, où ,l est un réel quelconque.
Démonstration : L'aire orientée du parallélogramme engendré par les vecteurs
il = (u1,u2) et ïJ = (v 1 ,v2) est donnée par: -11 = det(il, ù). L'aire orientée du parallélogramme engendré par les vecteurs il et û + À il est donnée par : det (il, û + À il) =
det (il, ù) = -11, puisque le déterminant n'est pas modifié lorsque, à une colonne donnée,
on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes.
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Figure 69.2 - Trois parallélogrammes de mê me aire.
3. Volume orienté d'un parallélépipède
Définition
Dans l'espace R 3 , le volume orienté du parallélépipède engendré par trois vecteurs
non coplanaires et non nuls ïl, 'il et w est donné par :
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