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Aires et volumes
1. Aire d'un t riangle
Soit P un plan affine de R 3 , et A, B, C trois points non alignés de ce plan.
Si on reprend la définition géométrique du produit vectoriel, il existe un réel À, et un
vecteur n, unitaire, orthogonal à P, tel que :
---+ ---+
....
AB /\AC = Àn
Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) ; on a alors :
AB /\AC = AB /\ AH+ HC = AB /\ HC
---+ ---+
---+ (----t ----t) ---+ ~
c
A ~---~ H------~ B
Figure 69.1- Le triangle ABC.
Par suite : ll A:B /\ Aêll = llA:B /\ Hêll· et donc :
1' 11 = l l AB /\ Aêll = l l AB /\ Hêll = AB.HC
---+
~
puisque AB et HC sont orthogonaux. On reconnaît alors le double de J'aire JlABC du
triangle ABC :
base x hauteur AB x HC
JlABC =
2
= 2
2. Aire d'un parallélogramme
Soient A , B, C, D quatre points du plan R 2 formant un parallélogramme non aplati. L' aire
du parallélogramme de sommets A, B, C, D est:
---+ ---+
JlABCD = ll AB /\ ADll
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