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>- Proposition
1. Le produit vectoriel est antisymétrique :
V (Ü, if) E JR
3 x JR
3
ü /\ iJ = - ü /\ ü
2. Le produit vectoriel est bilinéaire :
3.
4.
5.
V (a
~ ~ TIJ>3 TIJ>3 Tll>J V 1
Til> • { û A (iJ + Aw) = i1 !\ û + !lü !\ w
, V, W J E m. X m. X li. , /l E m. .
(~
1 ~)
~
~
~
1 ~
~
V+/lW /\u = ut\U+/lW!\U
V (il, if) E JR
3 x JR
3 : i1 !\ û = Ô {:::> i1 et û liés
V (il, if) E IR
3 x IR
3
ll û !\ ~I = llûJI llü'll lsin (i'v)I
6. Double produit vectoriel
V (il, iJ, w) E JR
3 X JR
3 X JR
3
(il/\ iJ) !\ w = (il . w) û - (û. w) il
Démonstration : Par le calcul . . .
•
>- Application du produit vectoriel
Exemple
Déterminons un système d'équations cartésiennes de la droite 1) passant par le point A de
coordonnées (l, 2, 3), et normale au plan P d'équation x + y + z =O.
Pest orthogonal au vecteur i1=(1,1, 1). Il suffit donc d'écrire que 1) est l'ensemble des points
----7
M de coordonnées (x, y, z) tels que les vecteurs AM et û soient colinéaires, ce qui peut aussi
s'écrire :
soit:
ce qui conduit à :
-----+ _, o '"'
AM/\ u =
(
x- 1] [1 ] (y -2-z+3] (y-z+ ll (O ]
y-2 /\ 1 = z-3-x+l = z-x- 2 = 0
z-3
1
x- 1-y+2 x - y+l 0
{
y-z+l=O
z - x - 2 = 0
x - y + l=O
La somme de ces 3 équations donnant 0, celles-ci ne sont pas indépendantes (elles sont liées);
le système précédent est donc équivalent, par exemple à :
{
y -z+ l=O
z - x - 2=0
(les crois équations étanr liées, il suffit d'en garder deux, à condition de bien les sélectionner,
puisque la troisième n'est en fait qu'une combinaison linéaiTe des deux autres).
On a donc bien obtenu un système d'équations cartésiennes de la droite D.
255
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