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u
Produit vectoriel
Dans ce qui suit, on se place dans l'espace eucl idien orienté, de dimension 3.
1. Définition géométrique
~ Base directe de JR. 3
Une famille libre de trois vecteurs (i1, û, w) de l'espace R 3 est appelée base directe si:
det(Ü, iJ, w) > 0
~ Angle entre deux vecteurs de JR 3
Soient ïl et ïJ deux vecteurs de l'espace R 3 . On choisit de placer leur origine en un point
0 del' espace. Alors, par définition, l'angle ( ïl, v) désigne l'angle orienté entre les droites
passant par le point 0 , et de vecteurs directeurs respectifs û et ïl.
~ Produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs ü = (u 1 , u2, u3) et iJ = (v 1 , v2 , v3) de l'espace R 3
est le vecteur, noté û l\ ï!, tel que :
• si ïl et ïJ sont colinéaires : ïl /\ ïJ = 0
• si i1 et iJ ne sont pas colinéaires : Ü/\ iJ = llûlllli!il lsin (ifD')I w où w est le vecteur unitaire
orthogonal à ïl et û tel que la base (ïl, ïl, w) soit directe.
ïl /\ iJ est alors unique.
(
---t ---t ---t)
Pour déterminer si une base OA, OB, OC de l'espace est directe, on peut utiliser la « règle
du bonhomme d' Ampère» : si un personnage ayant les pieds en 0 , la tête en A , et regardant
vers B, voit le point Cà sa gauche, la base est cLirecte, et indirecte dans le cas contraire.
Exemple
Dans l'espace euclidien de dimension 3 rapporté au repère orthonormé direct ( O; 7, J, k) :
-:j
-j
-+
7
4
-7
-7-7~
-7~-7
4
7
-7
j /\ i = - k , t /\ k = - j , . . . et i /\ j = k , j /\ k = i , k /\ J = - i
En pratique, dans l'espace euclidien de dimension 3 rapporté au repère orthonormé direct
(0;7,],k) :a/\v= U2 /\ V2 = U3 V1 - U1V3
[
U l l [ VJ l [ lt2 V3 - U3 V2 l
U3
V3
U 1 V2 - U2V1
2. Définition analytique
Définition
Le produit vectoriel de deux vecteurs a= (ui, U2, U3) et ïJ = (v,' V2 , V3) de l'espace R
3
est l'unique vecteur, noté i1 /\ iJ, tel que pour tout vectem w = (w 1 , w2, w3) de R
3 , on
ait : det (ïl, ïl, w) = (ïl /\ if) . w.
Démonstration : Par le calcul ...
254
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Produit vectoriel
Dans ce qui suit, on se place dans l'espace eucl idien orienté, de dimension 3.
1. Définition géométrique
~ Base directe de JR. 3
Une famille libre de trois vecteurs (i1, û, w) de l'espace R 3 est appelée base directe si:
det(Ü, iJ, w) > 0
~ Angle entre deux vecteurs de JR 3
Soient ïl et ïJ deux vecteurs de l'espace R 3 . On choisit de placer leur origine en un point
0 del' espace. Alors, par définition, l'angle ( ïl, v) désigne l'angle orienté entre les droites
passant par le point 0 , et de vecteurs directeurs respectifs û et ïl.
~ Produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs ü = (u 1 , u2, u3) et iJ = (v 1 , v2 , v3) de l'espace R 3
est le vecteur, noté û l\ ï!, tel que :
• si ïl et ïJ sont colinéaires : ïl /\ ïJ = 0
• si i1 et iJ ne sont pas colinéaires : Ü/\ iJ = llûlllli!il lsin (ifD')I w où w est le vecteur unitaire
orthogonal à ïl et û tel que la base (ïl, ïl, w) soit directe.
ïl /\ iJ est alors unique.
(
---t ---t ---t)
Pour déterminer si une base OA, OB, OC de l'espace est directe, on peut utiliser la « règle
du bonhomme d' Ampère» : si un personnage ayant les pieds en 0 , la tête en A , et regardant
vers B, voit le point Cà sa gauche, la base est cLirecte, et indirecte dans le cas contraire.
Exemple
Dans l'espace euclidien de dimension 3 rapporté au repère orthonormé direct ( O; 7, J, k) :
-:j
-j
-+
7
4
-7
-7-7~
-7~-7
4
7
-7
j /\ i = - k , t /\ k = - j , . . . et i /\ j = k , j /\ k = i , k /\ J = - i
En pratique, dans l'espace euclidien de dimension 3 rapporté au repère orthonormé direct
(0;7,],k) :a/\v= U2 /\ V2 = U3 V1 - U1V3
[
U l l [ VJ l [ lt2 V3 - U3 V2 l
U3
V3
U 1 V2 - U2V1
2. Définition analytique
Définition
Le produit vectoriel de deux vecteurs a= (ui, U2, U3) et ïJ = (v,' V2 , V3) de l'espace R
3
est l'unique vecteur, noté i1 /\ iJ, tel que pour tout vectem w = (w 1 , w2, w3) de R
3 , on
ait : det (ïl, ïl, w) = (ïl /\ if) . w.
Démonstration : Par le calcul ...
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