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Pourquoi s'intéresse-t-on autant aux propriétés du produit scalaire? Il s'agit, tout
simplement, de pouvoir étendre ces notions géométriques, relatives à un espace
concret, à des espaces plus abstraits, sur lesquels on va essayer de construire une
géométrie.
Considérons, ainsi, un fl uide en mouvement; la plupart du temps, on ne peut pas
déterminer la valeur exacte de la vitesse du fluide, on l'approche par des simulations numériques les plus précises possibles (soit à J'aide de différences finies, soit
de volumes finis). Si on ne connaît certes pas la valeur exacte de cette vitesse, il faut
cependant être sûr que l'approximation choisie soit la meilleure possible. Ainsi, il est
indispensable de définir une« distance» entre la solution exacte et la solution approchée. On se place alors dans ce que l'on appelle un« espace fonctionnel», c'est-à-dire
un espace de fonctions, dont les vecteurs sont, en fait, des fonctions. Si on considère
que Je mouvement du fluide est rectiligne, et a lieu entre des points d'abscisses respectives a et b > a, (a, b) E IR 2 , on peut ainsi considérer l'espace C 1 ([a, b], IR),
c'est-à-dire l'espace des fonctions de classe C
1 sur [a, b], à valeurs dans IR (dont la
dérivée est continue sur [a, b] , pour des questions de régularité : l'accélération, qui
est la dérivée de la vitesse, doit pouvoir être définie). Pour pouvoir définir une« distance » entre la solution exacte Vexacte et la solution approchée Vapprochée• il faut donc
un produit scalaire; on choisit l'application :
tp: C
1
([a, b] , JR) x C 1 ([a, b], JR) ~
lR
(f, g)
H
.C f(x) g(x) dx
L' application 'P étant, clairement :
• symétrique :
V(f,g) E C
1
([a,b], JR) X C
1
([a,bl, lR) tp(g, f) = tp(f,g)
• bilinéaire :
• définie positive :
V f E C
1
([a, b], 1R) : tp(f, f) °?:' 0
et:
V f E C
1
([a,bl, JR) : cp(f,f) = 0 Ç::} lb f 2 (x)dx = 0 Ç::} f = 0
(Si l' intégrale sur un segment [a, b] d'une fonction positive et continue est nulle,
alors cette fonction est identiquement nulle sur [a, b]; réciproquement, et de façon
évidente : Lb 0 dx = O.)
c' est un produit scalaire sur C 1 ([a, b], Ill), à partir duquel on pourra mesurer la« distance» entre la solution exacte et la solution approchée :
d (vexacte• Vapprochée) = lb (Vexacte - Vapprochée)2(x) dx
253
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Considérons, ainsi, un fl uide en mouvement; la plupart du temps, on ne peut pas
déterminer la valeur exacte de la vitesse du fluide, on l'approche par des simulations numériques les plus précises possibles (soit à J'aide de différences finies, soit
de volumes finis). Si on ne connaît certes pas la valeur exacte de cette vitesse, il faut
cependant être sûr que l'approximation choisie soit la meilleure possible. Ainsi, il est
indispensable de définir une« distance» entre la solution exacte et la solution approchée. On se place alors dans ce que l'on appelle un« espace fonctionnel», c'est-à-dire
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alors cette fonction est identiquement nulle sur [a, b]; réciproquement, et de façon
évidente : Lb 0 dx = O.)
c' est un produit scalaire sur C 1 ([a, b], Ill), à partir duquel on pourra mesurer la« distance» entre la solution exacte et la solution approchée :
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