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3. Plans
L'ensemble des vecteurs orthogonaux à un vecteur û non nul est un plan vectoriel, appelé
plan orthogonal à û.
Démonstration: Soit a un vecteur non nul, et P l'ensemble des vecteurs orthogonaux
àû.
On désigne par (u1, u2, u3) les composantes de ïl, et on suppose, dans un premier temps,
U3-:/= Û.
P est donc l'ensemble des vecteurs de composantes (x, y, z) telles que:
U 1 X + Uz Y + U3 Z = 0
ce qui conduit à :
U J X + Uz y
z =- - - - -
On peut alors écrire :
p =
{(x,y, -u1 x:uzy) /(x, y) E R 2 }
= {x (1. 0, -:~)+y (o,1,-::) /(x,y) E R
2 }
R ( 1, 0, - :~) + R ( 0, l , - :~)
Les vecteurs ( 1, 0, - :~ ) et ( 0, 1, - : : ) étant linéairement indépendants, on obtient
l'équation d'un plan vectoriel, ainsi que les vecteurs engendrant celu i-ci, qui sont
( 1 , 0, -~) et (o, 1 ,-u
2 ).
U3
U3
Le cas u3 = 0 est laissé au lecteur.
•
>- Vecteur normal à un plan vectoriel
Étant donné un plan vectoriel P 01t hogonal à un vecteur ïi non nul , le vecteur n est appelé
vecteur normal au plan vectoriel P.
Proposition
Étant donnés trois réels non tous nuls a, b, c, et un plan vectoriel P, d'équation cartésienne a x + b y+ c z = 0, un vecteur normal à Pest 1Ï = (a, b, c).
>- Vecteur normal à un plan affine
On appelle vecteur normal à un plan affine P tout vecteur directeur d'une droite perpendiculaire à P.
Proposition
Étant donnés quatre réels a, b, c, d tels que (a, b, c) * (0, 0, 0), et un plan affine P,
d'équation cartésienne a x + b y + c z = d, un vecteur normal à tp est it = (a, b, c ).
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