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>- Inégalité de Cauchy-Schwarz
Théorème
V (Ü, ïJ) E IR
3 X IR
3 : li1 · ü1 ~ llûll llü' ll
et l'égalité a lieu si et seulement si les deux vecteurs sont liés.
....
....
Démonstration: On se place dans le cas où ü * 0 et ü * 0, l' inégalité étant toujours
vérifiée lorsque ïl ou ü est égal au vecteur nul (on a alors une égalité).
Pour tout réel t :
On obtient ainsi un trinôme du second degré en t, qui est toujours positif; son discriminant réduit doit donc être négatif ou nul :
(Ü. ïf)
2 - llïlll
2 llü' ll
2
~ 0
ce qui conduit à :
lû . ü1 ~ llûll llü11
Si le discriminant est nul, alors, le trinôme en t admet une racine double, et il existe alors
un réel t tel que :
llû + tü11
2 = 0
soit:
.-t
....
....
u + tv =O
Les vecteurs ü et ü sont alors liés.
....
....
Réciproquement, si û =F 0 et ü =F 0 sont liés, il existe un réel ,l tel que :
ü = ÀÜ
et on a alors :
1a. m = 1,i111m1
2 = 1 1 rn11 1 m1
•
>- Propriétés d'une norme
Une norme sur JR 3 est une application à valeurs dans JR+ qui doit vérifier les troix axiomes
su ivants :
• séparation :
V Û E IR
3 : llûll = 0 ~ Û = 0
• homogénéité :
• inégalité triangulaire 1
V (Û, ïJ) E IR
3 X IR
3 : llû + ü' ll ~ llûll + llü' ll
1. «Le chemin le plus court est la ligne droite!» Merci à Paul Pearce, étudiant PCME 201 1 !
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