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Produit scalaire
1. Définitions
> Produit scalaire
On appelle produit scalaire de deux vecteurs il et v, de composantes respectives
(u1, u.2, u3) et (u1 , u2, u3), le nombre, aussi appelé «scalaire»
il· v = Ut Ut + u 2 v2 + u3 u3
> Norme euclidienne
On appelle norme euclidienne d'un vecteur il, de composantes (ut, u 2 , u. 3 ) , le réel positif
ou nul :
> Vecteur unitaire
Un vecteur est dit unitaire s' il est de norme 1.
> Vecteur orthogonaux
Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
2. Propriétés
> Propriétés du produit scalaire
Le produit scalaire est une application
• bilinéaire, c'est-à-dire linéaire par rapport à chaque variable :
...
"."!
3
3
3
· u+ 11.w = u·u+11.u·w
{
il ( ... ] ... ) ... ... } ... ...
V (u, V, w) E R X R X R , V Il E R : (v + À W) . i1 = iJ. i1 + ÀW. i1
• symétrique :
• définie positive : d' une part, la positivité,
V il E R
3
Ü · il ~ 0
et, d' autre part, le caractère défini:
V i1 E R 3 il· i1 = 0 Ç:> il = Ô
249
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