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Propriétés des limites
Opérations sur les limites
1. Propriétés des limites
>- Unicité de la limite
Soient f une fonction définie sur un intervalle I de JR, à valeurs dans JR, et a dans Ï. Si f
possède une limite en a, celle-ci est unique.
• Soient f une fonction définie sur un intervalle I de JR, à valeurs dans JR, a un point de
l, etl dans R
Alors, si f est définie dans un vois inage à gauche de a, et dans un vois inage à droite
de a :
lim f(x) = e {:::> lim f(x) = lim f(x) = e
x-+a
x-a+
x-a• Soient f une fonction défi nie sur un intervalle Ide JR, à valeurs dans JR, et a dans Ï; m
et M sont deux réels. Alors :
- si lim f(x) < M , il existe un voisinage de a tel que, pour tout x de ce voisinage :
x-+a
f(x) < M
- s i lim f(x) > m, il existe un voisinage de a tel que, pour tout x de ce voisinage :
x-a
f(x) > m
>- Limites et comparaison
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle l de JR, à valeurs dans JR, et a dans
Ï ; met M sont deux réels. Alors, si f et g ont des limites finies en a, et s' il ex iste un
voisinage 'V de a tel que, pour tout x de ce voisinage,
f(x) :::;; g(x)
on a :
lim f(x) ~ lim g(x)
x-+a
x-+a
>- Limites et minoration
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de lR, à valeurs dans JR, et a
dans Ï. S 'il existe un voisinage de a tel que, pour tout x de ce voisinage,
f(x) :::;; g(x)
et si, de plus,
lim g(x) = - oo
x-+a
alors:
lim f(x) = - oo
x-+a
>- Limites et majoration
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de JR, à valeurs dans JR, et a dans
Ï. S'il existe un voisinage de a tel que, pour tout x de ce voisinage, f(x) ~ g(x), et si
lim g(x) = +oo, alors :
x-+a
lim f(x) = + oo
x-+a
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