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Droites, plans
1. Droites
Définition
On appelle droite vectorielle engendrée par un vecteur non nul ü l'ensemble :
D = Hhl = {Aü, À E IR}
Définition
On appelle droite affine passant par le point A et dirigée par le vecteur û (ou encore
par la droite vectorielle engendrée par il) l'ensemble
.V= A +IR u = {A+ À u, À E IR}
Une droite affine passant par l'origine 0 peut aussi être considérée comme une droite vectorielle.
Exemple
La droite affine passant par Je point A de coordonnées (1, l, 1) et dirigée par le vecteur ïl =
(1, 2, 3) est donc l'ensemble
1J=
A +R. ü
=
(A + À it, À E R.j
= { M(x, y, z) / x = l + À , y = l + 2 À , z = l + 3 À , À E R.}
c'est-à-dire l'ensemble des points M de coordonnées (x, y, z) tels que:
{
x= l +À
y= l + 2À , À E R.
z =1 + 3À
On a ainsi obtenu une représentation paramétrique, ou paramétrage, de 1).
En éliminant Je paramètre À, par exemple, en utilisant la première relation, À = x - l, on en
déduit:
{
y= 1+2À= 1 +2 x - 2=2x -l
z = l +3À = 1 +3x - 3 = 3x - 2
on obtient un système d ' équations cartésiennes de 1J.
Inversement, il serait aussi possible, à partir d'un système d'équations cartésiennes de 1), d'en
déduire une représentation paramétrique .
Attention ! Dans l' espace, une droite, qui est aussi 1 ' intersection de deux plans, est donc définie
......
par deux équations, par contre, dans le plan rapporté à un repère ( O; i , j) , une droite est définie
par une seule équation. On rappelle à cet effet qu'étant donnés trois réels a , b et c tels que
(a,b) * (0,0), et une droite affine 1), d'équation cartésienne ax + by + c = 0 , un vecteur
directeur de 'D est il= (- b, a).
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