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>- Coordonnées cartésiennes du barycentre d'un système pondéré de deux points
Étant donnés deux réels œ et f3 tels que œ + f3 * 0, et deux points A(xA , YA, ZA) et
B(xs , y 8 , zs) de l'espace IR.
3 , le barycentre G du système pondéré {(A, œ), (B,{3)} a pour
coordonnées :
(
œxA + f3xs œyA+f3ys œzA +/3zs )
œ+/3 ' œ+/3 ' œ+/3
2. Barycentre d'un système pondéré den points, n E N*
Définition
Étant donnés n réels œ1, . . . , œ,, tels que
n
~œ·
L; { .
i=J
.. . , An(x 11 ,yn,Zn) de l'espace IR. 3 , on appelle barycentre du système pondéré
{(A 1, œ1), .. . , (A 11 , œ 11 )} le point G tel que :
Théorème
n
Étant donnés n réels œ, , ... , œ 11 tels que I œi * 0, et n points A 1(x 1 ,y1,z1), .. . ,
i=I
A, 1 (x,,, y,,, z 11 ) de l'espace IR. 3 , un point G de l 'espace est le barycentre du système pondéré
{(A1,œ1), ... , (A 11 ,œn)} si et seulement, pour tout point M de l'espace:
Démonstration : Si G est le barycentre du système pondéré !(A 1, œ1 ), .. . , (An , œn)l,
alors :
La relation de Chasles pennet d'en déduire :
n
I œi(m1+~) = o
i=I
ce qui conduit bien à :
Réciproquement, si le point Gest tel que, pour tout point M de l' espace:
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