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Barycentres
1. Barycentre d'un système pondéré de deux points
Définition
Étant donnés deux réels a et f3 tels que a + f3 -:f. 0, et deux points A(xA, YA, ZA)
et B(xB,yB,ZB) de l'espace JR. 3 , on appelle barycentre du système pondéré
l(A, œ), (B,{3)} le point G tel que :
----+
----+
...
aGA +{JGB = 0
Lorsque a= f3 = ~,le barycentre du système pondéré {(A, a), (B,/3)} est bien sûr le milieu du
segment [A, B] !
Théorème
Étant donnés deux réels œ et f3 tels que œ + f3 -:f. 0, et deux points A(xA , YA, ZA) et
B(xs, y 8 , zs) de l 'espace JR. 3 , un point G de l'espace est le barycentre du système pondéré
{(A, a), (B,/3)} si et seulement, pour tout point M de l'espace:
~
~
----4
a MA + f3 M B = (a + /3) MG
Démonstration: Si G estle barycentre du système pondéré {(A, a), (B,/3)}, alors :
----+
----+
...
œGA+{JGB=O
La relation de Chasles permet d'en déduire:
œ GM + MA + f3 GM + MB = 0
(
----4
~)
( ----4
~ ) ...
ce qui conduit bien à :
~
~
----4
œMA +{JMB = (œ +/3) MG
Réciproquement, si le point Gest tel que, pour tout point M de l'espace:
~
~
----4
a MA+ /3 MB =(a+ /3) MG
on en déduit, pour M = G :
----+
----+
...
aGA + f3GB = O
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