"O
0
c::
::J
0
v
..-!
0
N
@
~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
Exemple
Soit un triangle non aplati
1 de sommets A, B, C :
~
-::-7. ~
.,.,
AB+Bc + CA= 0
~~
~
Les vecteurs AB, BC et CA sont liés, mais non colinéaires! Com me ils sont dans un même
plan, ils sont coplanaires.
c
A"----------------B
Figure 64.2 - Trois vecteurs liés
Propriété
Pour toute famille (û, û, w) de vecteurs libres :
a i1 + b û + c w = Ô => (a, b, c) = (0, 0, 0)
ce qui signifie que, s' il existe une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs, alors les
coefficients de cette même combinaison linéaire sont nécessairement nuls.
Exemple
On considère les vecteurs t1 = (1, 2, 3), û = (3, 2, 1) et w = (-1, 2, 1).
Pour déterminer s'ils sont liés ou non, on cherche s'il existe des réels a, b etc tels que :
au + bü+cw=O
soit :
(a+ 3 b - c, 2a + 2b + 2c, 3 a+ b + c) = (0, 0, 0)
ce qui implique donc, puisque deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs composantes
sont égales :
puis
{
a+3b-c =0
2a+2b+2c=O
3a + b+c = 0
a=b=c=O
Les vecteurs t1 = (1, 2, 3), û = (3, 2, 1) et w = (- 1, 2, 1) sont donc linéairement indépendants.
240