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4. La solution d'un système de Cramer
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a11 X1 + . .. +a111Xn = b1
a111 XJ + · '.·+ami Xn = ~n
est obtenue grâce aux formules de Cramer :
Vi{ l , .. . ,n}:
det(C1(A), ... ,Ci- t(A), B, Ci+1(A), ... , C 11 (A))
Xi =
det A
où, pour tout j de {1, ... , n}, Cj(A) désigne la j ème colonne de la matrice A.
Démonstration : Comme
det (C1 (A), . .. , Ci-1 (A), B, Ci+t (A), .. . , C 11 (A))
= det(Cr(A), ... ,Ci-r(A), AX, Ci+r(A), ... , Cn(A))
n
= det(Cr (A), . .. , Ci- 1 (A), _L Xi Ci(A), Ci+I (A), .. . , Cn(A))
i= l
on utilise tout simplement les propriétés d'invariance par transvection du déterminant;
Je déterminant ne change pas si, à une colonne donnée, on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes :
Vi{l, ... ,n}:
det(C1(A), ... ,Ci- t(A), B, Ci+1(A), ... , C 11 (A))
= det(Cr(A), .. . , Ci- 1(A), XïCi(A), Ci+1(A), . .. , Cn(A))
= Xi det (C1 (A), ... , Ci- l (A), Ci(A), Ci+ L (A), ... , C 11 (A))
= Xi detA
•
3. Réduction des systèmes linéaires
Théorème
Tout système linéaire de m équations à n inconnues, A X = B, A E Mm, 11 (R), B E
Mm, 1 (R), peut s'écrire sous la forme :
AX =B
où B E M 111 , 1 (IR), et où A E Mm,nCR) est une matrice de la forme :
A=
l* ***** * *
1*** * *
1 * * *
Les coefficients non écrits sont nuls, les autres sont désignés par des astérisques.
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