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Systèmes linéaires
1. Définitions
1. m et n étant deux entiers naturels non nuls, on appelle système linéaire de m
équations, d' inconnues x 1 , •• • , x 11 :
{
a11 Xt + ... +a1nXn = bi
ami X 1 + · ' . · + am11 Xn = b~n
Les aij, 1 ,,:;; i ,,:;; m, 1 ,,:;; j ,,:;; n sont appelés coefficients du système.
Tout n-uplet (x 1 , ••• , x 11 ) vérifiant les m équations précédentes est appelé solution
du système.
2. Un système li néaire, d' inconnues x1, .. . , x 11 , de la forme :
est dit homogène
1
•
{
a 1 1 X 1 + ... + a 111 Xn = 0
am 1 X 1 + · ' . · + amn Xn = ~
3. Le système homogène associé au système linéaire :
est :
2. Propriétés
{
a11 X 1 + ... + a 1 11 Xn = b1
am 1 Xt + . ' . . + amn Xn = b:n
{
a11 X1 + . .. + a111 Xn = 0
am i XI + · ' . · + amn Xn = ~
1. Un système linéaire, d' inconnues x 1 , .. . , x 11 , de la forme :
{
a11 X1 + . . . +a 1nXn = b1
am 1 X 1 + · ' . · + amn Xn = b:n
peut aussi s'écrire sous la fo1me :
AX = B
l. Le système est dit « homogène», car si le n-uplet (x1, . .. , xn) est solution, alors, pour tout réel A, le
n-uplet (il x 1 , ••• , il Xn) est également solution.
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