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Les divers croisements de gènes pouvant avoir lieu peuvent être récapitulés dans
une matrice de taille px p, H, dite matrice d'hérédité, qui permet d'obtenir la distribution, pour la génération n + 1, des génotypes, en fonction de celle de l'année n :
Si on connaît le vecteur Xo donnant la répartition initiale des génotypes, il est donc
possible, par récurrence, d'exprimer explicitement le vecteur X 11 donnant la répartition des génotypes pour la génération n: X 11 = H X,,,-1 = 71 2 Xn-2 = ... = 71
11 Xo.
Il est cJair que si la matrice H est diagonalisable, et donc semblable à une matrice
diagonale D, le calcul sera facilité!
>- Comment disparaissent des gènes
Prenons le cas où p = 4, et où la matrice H est donnée par : H =
1
4
1
! -! 0 0
0 ! 0 0
4
l 0 1 0
4
i -i 0 k
avec : X 0 = 7 . La matrice H est diagonalisable. Ses valeurs propres sont 1, ! ,
6
1
TI
~, et k ; si on désigne par P la matrice de passage à la base des vecteurs propres
(dans chaque colonne, on retrouve les coordonnées des vecteurs engendrant les sousespaces propres respectivement associés à chaque valeur propre): P = [L~! =H]
0 1 0 1
[
] 000]
et D la matrice dfagonale : D = ~ ~ ~ ~ alors, compte-tenu de : H = PD p- I
0 0 0 ! 8
on en déduit : X 11 = ( P D p- l r Xo = PD p- I PD p- l ... PD p- t Xo = P D
11 p- I X o
soit :
1
1 0 0 01
_
Ü in Û Û -1 _
Xn -P OO
4
~ 1 ~ P Xo0 0 0 8"
Il en résulte: lirn X11 = [ ~ ]· ce qui signifie qu' au bout d' un très grand nombre de
n-++oo
24
0
générations, il ne reste plus dans la population que des individus portant le gène 3.
233
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- n:s
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