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• James Sylvester (1814-1897) est un mathématicien et géomètre anglais. Il a, notamment, travaillé avec Arthur Cayley sur les formes quadratiques et leurs invariants (théorème d'inertie de Sylvester), et les déterminants. Il a, également, introduit la fonction indicatrice d'Euler, qui, à un entier naturel n, associe le nombre
d'entiers strictement positifs intërieurs ou égaux à n et premiers avec n, très utilisée
en théorie des nombres.
• Arthur Cayley (1821-1895) est un mathématicien britannique, un des fondateurs
de l'école britannique moderne de mathématiques pures.
Les applications du calcul matriciel dans l'industrie
Le calcul matriciel occupe, maintenant, une place fondamentale dans l'industrie, pour
la modélisation et le calcul numérique. Ainsi, dans l'aéronautique, on utilise des modèles tridimensionnels de CFD (Computationnal Fluid Dynamîcs). L'ordinateur crée
un modèle de la surface de l'avion à l'aide d'un réseau de« boîtes», situées soit à l'intérieur de la surface, soit à l'extérieur, soit à cheval entre les deux. Les « boîtes » qui
intersectent (rencontrent) la surface de l' avion sont à nouveau divisées en un nouveau
réseau de« boîtes» encore plus petites, où on ne retient que celles qui intersectent la
surface. On itère le procédé jusqu'à ce que le réseau obtenu soit constitué de« boîtes»
de très petite taille, afin d'obtenir le plus de précision possible. Pour déterminer la
circulation de l'air autour de l'avion, et donc, les efforts s'exerçant sur celui-ci, l'ordinateur est, finalement, amené à résoudre un système d'équations linéaires de très
grande taille, puisque celle-ci peut atteindre 2.10 6 , soit 2 millions d'équations - ou
plus! Le second membre du système est modifié à chaque calcul (ou itération), en
fonction des résultats des calculs précédents, et des données du réseau.
Le stockage des données afférentes doit être fait de la façon la plus optimale possible, afin que l'ordinateur puisse effectuer, en un temps minimum, les calculs. Les
données sont, ainsi, stockées sous forme de tableaux de nombres (des matrices, ou
des vecteurs). D'autre part, afin d'optimiser les calculs, on essaye toujours de les exprimer sous une forme simplifiée au maximum. Pour une matrice, la présence de « zéros» judicieusement placés, regroupés en «blocs », facilitera ceux-ci. Mais, même
simplifiés à l'extrême, ceux-ci, en raison de la taille des systèmes, restent toujours
complexes. L'algèbre linéaire, la théorie de la réduction matricielle, la factorisation,
sont des outils très puissants pour améliorer les performances et les résultats des simulations numériques. Le lecteur intéressé pourra trouver plus de précisions dans
[19], sur le plan formel, et dans [201, pour une vision plus appliquée.
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• James Sylvester (1814-1897) est un mathématicien et géomètre anglais. Il a, notamment, travaillé avec Arthur Cayley sur les formes quadratiques et leurs invariants (théorème d'inertie de Sylvester), et les déterminants. Il a, également, introduit la fonction indicatrice d'Euler, qui, à un entier naturel n, associe le nombre
d'entiers strictement positifs intërieurs ou égaux à n et premiers avec n, très utilisée
en théorie des nombres.
• Arthur Cayley (1821-1895) est un mathématicien britannique, un des fondateurs
de l'école britannique moderne de mathématiques pures.
Les applications du calcul matriciel dans l'industrie
Le calcul matriciel occupe, maintenant, une place fondamentale dans l'industrie, pour
la modélisation et le calcul numérique. Ainsi, dans l'aéronautique, on utilise des modèles tridimensionnels de CFD (Computationnal Fluid Dynamîcs). L'ordinateur crée
un modèle de la surface de l'avion à l'aide d'un réseau de« boîtes», situées soit à l'intérieur de la surface, soit à l'extérieur, soit à cheval entre les deux. Les « boîtes » qui
intersectent (rencontrent) la surface de l' avion sont à nouveau divisées en un nouveau
réseau de« boîtes» encore plus petites, où on ne retient que celles qui intersectent la
surface. On itère le procédé jusqu'à ce que le réseau obtenu soit constitué de« boîtes»
de très petite taille, afin d'obtenir le plus de précision possible. Pour déterminer la
circulation de l'air autour de l'avion, et donc, les efforts s'exerçant sur celui-ci, l'ordinateur est, finalement, amené à résoudre un système d'équations linéaires de très
grande taille, puisque celle-ci peut atteindre 2.10 6 , soit 2 millions d'équations - ou
plus! Le second membre du système est modifié à chaque calcul (ou itération), en
fonction des résultats des calculs précédents, et des données du réseau.
Le stockage des données afférentes doit être fait de la façon la plus optimale possible, afin que l'ordinateur puisse effectuer, en un temps minimum, les calculs. Les
données sont, ainsi, stockées sous forme de tableaux de nombres (des matrices, ou
des vecteurs). D'autre part, afin d'optimiser les calculs, on essaye toujours de les exprimer sous une forme simplifiée au maximum. Pour une matrice, la présence de « zéros» judicieusement placés, regroupés en «blocs », facilitera ceux-ci. Mais, même
simplifiés à l'extrême, ceux-ci, en raison de la taille des systèmes, restent toujours
complexes. L'algèbre linéaire, la théorie de la réduction matricielle, la factorisation,
sont des outils très puissants pour améliorer les performances et les résultats des simulations numériques. Le lecteur intéressé pourra trouver plus de précisions dans
[19], sur le plan formel, et dans [201, pour une vision plus appliquée.
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