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Il existe plusieurs stratégies pour choisir le pivot, de la plus économique en temps de
calcul à la plus robuste en terme d'erreurs numériques :
1. la méthode la plus rapide est, à l'itération i, de rechercher dans la colonne i le
premier élément non nul.
2. Il est aussi possible de rechercher, dans la colonne i , le plus grand élément, et de
le choisir comme pivot.
On est ainsi amené à effectuer des permutations de lignes uniquement. Il est à noter que
le pivot doit nécessairement se trouver dans la partie inférieure de la matrice.
Exemple
( 1 -2)
A= - 2 3 .
Pour inverser A par opérations élémentaires, on commence donc par écrire :
Les opérations à effectuer sont les suivantes :
puis: ((~ ~
2
) 1 (~2 ~1))
pws: ((~n 1( =;=î))
(( ~ =n 1 (~ n)
Ligne 2 +-- Ligne 2 + 2 x Ligne 1
Ligne 2 +-- - Ligne 2
Ligne l +-- Ligne l + 2 x Ligne 2
Il ne faut pas oublier de vérifier que le calcul est correct:
( 1 -2)(-3-2) =(10)
- 2 3
- 2 -1
OJ
.
-1
(-3-2)
On a donc bien : A = _ 2
_ 1 .
3. Inverse d'un produit de matrices (de gLn(lR))
Si A et B sont dans 9L 11 (R ) :
Démonstration : A et B étant dans 91: 11 (R), leurs déterminants respectifs sont non nuls.
Il en résulte : det(A B) = det A det B =F O.
La matrice produit AB est donc inversible. Sa matrice inverse (A B)- 1 est telle que :
AB (A B)1 = ! 11
En multipliant à gauche par A- l, on en déduit: A- 1 AB (A B)1
= B (A Br' = A- 1 •
De même, en multipliant à gauche par B1 , on en déduit : B1 B (A B)1 = (A B)1
· =
B- 1 A- 1 •
On vérifie sans peine que :
(AB)B1 A1
= B1 A1 AB = 1 11
•
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