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>- Inverse de la transposée d'une matrice {de Ç.L 0 {~))
Corollaire
>- Autre méthode
Pour inverser une matrice de déterminant non nul, ou dont on connaît le caractère inversible, on peut aussi utiliser l'algorithme Fang-Shen, ou algorithme de Gauss-Jordan,
ou méthode du pivot de Gauss ; si on pose X = (x 1 , ... , xn), inverser une matrice carrée A d'ordre n, de déterminant non nul, revient en effet à résoudre le système des n
équations d' inconnues XJ, ... , Xn :
AX=Y
où Y= (yJ, ... , y 11 ) E IR.
11
, ce système pouvant aussi s'écrire: X = A1 Y.
Compte tenu de :
on crée un tableau à n lignes et 2n colonnes en bordant la matrice A par la matrice
identité / 11 :
; : : ~ ~1
0 ... 1
La transformation de Gauss-Jordan consiste à transformer ce système en un système
équivalent dont le bloc gauche est l'identité, c' est-à-dire qu'il faut modifier la matrice
(A ll 11 ) pour qu'elle devienne de la forme (l 11 IA- 1 ) en utilisant les propriétés de J' algorithme.
On désignera par :
• A(i) la matrice à l'itération i;
• LY) la / ème ligne de la matrice à l'itération i.
À l' itération i, il faut obtenir une matrice de la forme:
(i) (i)
(i)
(i)
a (i)
a, 1 a,2 · · · a , i a , ~+ 1
111
Û
(i)
(i)
(IJ
(i)
a22 · · · a23 a2,i+ 1
a2n
A(I) = 0
0
(i)
(i)
(i)
a .. ai.i+ l
a .
Il
in
0
0 0
(i)
(i)
ai+l ,i+ l ... ai+l ,n
0
0 0
0
0 0 a (i)
11,i+I
an,n
(i)
0
(i)
0 (1)
0
avec all * , ... , aii * , ai+l ,i+I * .
Pour passer de la matrice A (i) à la matrice A (i+ I) , il faut faire apparaître des 0 à partir
de la ligne i + 2 sur la colonne i + 1, ce que l'on fait en remplaçant la ligne L (~), j ;;;<: i + 2,
.!
par la combinaison linéaire :
(i)
L (1) _ aj,i+ I
j
(i)
ai+l,i+l
Le nombre a~2t ,i+I est appelé le pivot de Gauss.
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