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Considérons la matrice obtenue en remplaçant la f ème ligne de A par sa ë ème ligne :
a11
a1 ,n
ai, l
ai,11
aJ- 1,1
a)- 1,n
ai,1
a i,n
a1+1 ,1
Gj+l,n
a111
an,n
et développons son déterminant suivant la f ème ligne :
aj-1 ,1
Gi,I
Gj+l,I
a1 ,n
Gj- 1,n
ai,n
aj+l,11
Gnl
an,n
n
n
= Iaik (ComA)Jk = Iaik ('ComAtj
k= I
k= I
Cette matrice ayant deux lignes identiques (la iième et la f ème), son déterminant est nul :
n
I a;k ('ComA)kJ = O
k=I
:>- Deuxième cas : i = j
En développant detA suivant la iième ligne, on obtient :
a11 .. . a1 ,n
n
n
detA = ail ... a;,11 = I aik (ComAh = I aik (
1
ComAL
k= l
k= I
Gnl ·· · an,n
On a donc, finalement: (A .t ComA)ij = detA · OiJ·
On montre de même que : (1ComA · A)ij = detA · Ôij ·
D'où le résultat.
Corollaire
1
VA E {;.L,,(R) : A- 1 = - -
1
ComA
detA
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227
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