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Inversion des matrices carrées
1. Conditions d'inversibilité
Une matrice carrée A d'ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière,
s' il existe une mat1ice B d'ordre n telle que:
A B = B A = ln
Best alors la matrice inverse de A. Elle est unique. On note, usuellement, A1 la matrice
inverse de A, qui est aussi de taille n x n.
Une matrice carrée qui n'est pas inversible est dite non inversible ou singulière.
L'ensemble des matrices inversibles de M 11 (IR) est appelé groupe linéaire d 'ordre n,
et noté 9L 11 (IR)
1 •
Proposition
Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
2. Inverse d'une matrice carrée
Théorème
V A E M 11 (1R) : A ·
1 ComA =
1 ComA ·A = detA · 1 11
où
1 ComA désigne la transposée de la comatrice de A.
Démonstration : D'après la formule du produit matriciel :
Il
Il
(A .tcomA)ij = L,aik (1comA)kj = L,aik (ComA)jk
k= I
k= I
//.
Il faut donc calculer, pour tout couple d'indices (i, j) : L aik (ComA)jk ·
k= l
~ Premier cas : i * j
Quitte à échanger i et j, on peut supposer i < j.
1. Il possède une structure de groupe, puisqu ' il est stable par multiplication et passage à l'inverse.
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