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2. Propriétés
Étant donnés n vecteurs u1, . .. , Un, le déterminant de la matrice M = (u 1 , .. . , un) vérifie
les propriétés suivantes :
>- Antisymétrie
det(u2,u1,u3, .. . , u 11 ) = - det(u1,u2,u3, . . . ,un) = .. . = - det(u1, . .. , u, 1 )
L'antisymétrie traduit le fait que le déterminant change de signe si on échange deux
colonnes.
>- Homogénéité
V ,l E IR , V i E {l, . . . , n} det(u1, . .. , Àui, .. . , u 11 ) = À det(u1, . . . , un)
>- Invariance par transvection
Pour tout réel A,
La valeur du déterminant ne change pas si, à une colonne donnée, on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes.
Démonstration : Ce résultat s'obtient immédiatement à partir de la fonnule donnant le
développement suivant une ligne ou une colonne.
•
Le déterminant d'une matrice et de sa transposée étant égaux, les propriétés d ' invariance du
déterminant par opérations élémentaires sur les vecteurs colonnes de la matrice sont également
valables pour les lignes de la matrice.
>- Autres propriétés
1.
2.
3.
Le détenninant d'une matrice triangulaire est égal au produit des termes diagonaux.
Le déterminant d'une matrice diagonale est égal au produit des termes diagonaux.
Détenninant du produit de deux matrices d'ordre n :
V(A, B) E (Mn(1R)) 2 : detAB = detA detB
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