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Introduction aux déterminants
de matrices de taille n x n
1. Définitions
>- Déterminant
Étant donnée A E M 11 (R), on appelle déterminant de la matrice A = (aij) . 1
. le
l~1 ~n. ~J~n
nombre, noté det A, qui peut être calculé, par récurrence, de la façon suivante :
• par un développement suivant la ligne i , i E {1, .. . , n} :
n
• par un développement suivant la colonne j , j E { l , ... , n} :
Il
det A = _L.(- l)i+.i aiJfliJ(A)
i=I
où, pour tout couple d ' indices (i, j) E {l, . .. , nf, fli.i , appelé mineur d 'indice (i, j ),
est le déterminant de la matrice obtenue en enlevant à A la ligne i et la colonne j.
Quel que soit le mode de calcul retenu, on obtient, bien sûr, le même résultat.
Le déterminant d' une matrice de taille n x n se calcule donc par récun-ence à partir de déterminants de matrices de taille (n - 1) x (n - 1), puis (n - 2) x (n - 2), ... , et, finalement, de
déterminants de matrices de taille 2 x 2.
>- Cofacteur
Soit A E Mn(R ). Étant donné (i, j) E { 1, .. . , n}
2 , on appelle cofacteur d'indice (i, j ) :
( - l )i+.i fl ..
.
IJ
>- Comatrice
SoitA E M 11 (R).
On appelle comatrice de la matrice A, et on note ComA E M 11 (R) la matrice des
cofacteurs :
ComA = (c- 1i+.i fl .. (A))
IJ
J ~i~n, 1 ~j~n
Une matrice de taille n x net sa transposée ont le même déterminant:
V A E Mn(R) : det
1
A = detA
Démonstration : Ce résultat est dû au fait que le déterminant peut être calculé, indifféremment, grâce au développement suivant une ligne ou une colonne.
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Introduction aux déterminants
de matrices de taille n x n
1. Définitions
>- Déterminant
Étant donnée A E M 11 (R), on appelle déterminant de la matrice A = (aij) . 1
. le
l~1 ~n. ~J~n
nombre, noté det A, qui peut être calculé, par récurrence, de la façon suivante :
• par un développement suivant la ligne i , i E {1, .. . , n} :
n
• par un développement suivant la colonne j , j E { l , ... , n} :
Il
det A = _L.(- l)i+.i aiJfliJ(A)
i=I
où, pour tout couple d ' indices (i, j) E {l, . .. , nf, fli.i , appelé mineur d 'indice (i, j ),
est le déterminant de la matrice obtenue en enlevant à A la ligne i et la colonne j.
Quel que soit le mode de calcul retenu, on obtient, bien sûr, le même résultat.
Le déterminant d' une matrice de taille n x n se calcule donc par récun-ence à partir de déterminants de matrices de taille (n - 1) x (n - 1), puis (n - 2) x (n - 2), ... , et, finalement, de
déterminants de matrices de taille 2 x 2.
>- Cofacteur
Soit A E Mn(R ). Étant donné (i, j) E { 1, .. . , n}
2 , on appelle cofacteur d'indice (i, j ) :
( - l )i+.i fl ..
.
IJ
>- Comatrice
SoitA E M 11 (R).
On appelle comatrice de la matrice A, et on note ComA E M 11 (R) la matrice des
cofacteurs :
ComA = (c- 1i+.i fl .. (A))
IJ
J ~i~n, 1 ~j~n
Une matrice de taille n x net sa transposée ont le même déterminant:
V A E Mn(R) : det
1
A = detA
Démonstration : Ce résultat est dû au fait que le déterminant peut être calculé, indifféremment, grâce au développement suivant une ligne ou une colonne.
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