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Limite d'une fonction en +oo ou -oo
1. Limite finie d'une fonction en l'infini
Soient f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a, +oo[ de R, a E R, et e un
réel.
On dit que f admet pour limite (finie) e en« plus l'infini (on note +oo) » si, lorsque
X devient très grand, f(x) devient très proche de {, ce qui Se traduit mathématiquement
par le fait que pour tout réel c strictement positif, il existe un réel «seuil »,A, strictement
positif tel que :
V X E [a, +oo[, X> A => lf(x) - e1 < G
On écrit alors : lim f(x) = l ou lim f = f .
x~+oo
+oo
Si f est dé.finie sur un intervalle de la forme ] - oo, a] de R, a E R, et si e désigne encore
un réel , on dit que f admet pour limite (finie) e en «moins l'infini (on note - oo) »
si, lorsque x devient très grand en valeur absolue, mais en étant à valeurs négatives, f(x)
devient très proche de e, ce qui se traduit mathématiquement par le fait que pour tout
réel c strictement positif, il existe un réel A , strictement positif tel que:
V X E] - oo, a], X < - A => lf(x) - e1 < s
On écrit alors : lim f(x) = e ou lim f = e.
X~-00
-OO
Exemple
lim 1 -
= l
. (
1 )
X-++oo
~
2. Limite infinie d'une fonction en plus l'infini
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a, +oo[ de R, a E R.
On dit que f admet pour limite + oo en «plus l'infini » si, lorsque x devient très
grand, f(x) devient lui aussi très grand, ce qui se traduit mathématiquement par Je fait
que pour tout réel B strictement positif, il existe un réel «seuil», A, strictement positif
tel que:
V x E [a, + oo[, x > A => f(x) > B
On écrit alors : lim .f(x) = + oo ou lim f = + oo.
x~+oo
+oo
On dit que .f admet pour limite - oo en « plus l'infini » si, lorsque x devient très
grand, f(x) devient très grand en valeur absolue, mais en étant à valeurs négatives, ce
qui se traduit mathématiquement par Je fait que pour tout réel B strictement positif, il
existe un réel «seuil »,A, strictement positif tel que :
V x E [a, + oo[, x >A => f(x) < -B
On écrit alors : lim f(x) = - oo ou limf = - oo.
x~+oo
+oo
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Limite d'une fonction en +oo ou -oo
1. Limite finie d'une fonction en l'infini
Soient f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a, +oo[ de R, a E R, et e un
réel.
On dit que f admet pour limite (finie) e en« plus l'infini (on note +oo) » si, lorsque
X devient très grand, f(x) devient très proche de {, ce qui Se traduit mathématiquement
par le fait que pour tout réel c strictement positif, il existe un réel «seuil »,A, strictement
positif tel que :
V X E [a, +oo[, X> A => lf(x) - e1 < G
On écrit alors : lim f(x) = l ou lim f = f .
x~+oo
+oo
Si f est dé.finie sur un intervalle de la forme ] - oo, a] de R, a E R, et si e désigne encore
un réel , on dit que f admet pour limite (finie) e en «moins l'infini (on note - oo) »
si, lorsque x devient très grand en valeur absolue, mais en étant à valeurs négatives, f(x)
devient très proche de e, ce qui se traduit mathématiquement par le fait que pour tout
réel c strictement positif, il existe un réel A , strictement positif tel que:
V X E] - oo, a], X < - A => lf(x) - e1 < s
On écrit alors : lim f(x) = e ou lim f = e.
X~-00
-OO
Exemple
lim 1 -
= l
. (
1 )
X-++oo
~
2. Limite infinie d'une fonction en plus l'infini
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a, +oo[ de R, a E R.
On dit que f admet pour limite + oo en «plus l'infini » si, lorsque x devient très
grand, f(x) devient lui aussi très grand, ce qui se traduit mathématiquement par Je fait
que pour tout réel B strictement positif, il existe un réel «seuil», A, strictement positif
tel que:
V x E [a, + oo[, x > A => f(x) > B
On écrit alors : lim .f(x) = + oo ou lim f = + oo.
x~+oo
+oo
On dit que .f admet pour limite - oo en « plus l'infini » si, lorsque x devient très
grand, f(x) devient très grand en valeur absolue, mais en étant à valeurs négatives, ce
qui se traduit mathématiquement par Je fait que pour tout réel B strictement positif, il
existe un réel «seuil »,A, strictement positif tel que :
V x E [a, + oo[, x >A => f(x) < -B
On écrit alors : lim f(x) = - oo ou limf = - oo.
x~+oo
+oo
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