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Démonstration : À l'aide de la formule du produit matriciel, on peut exprimer le terme
s. itué ligne k et colonne l de la matrice AS iJ • qu. i vaut :
Il
I akp ( s ij) pl
p= I
11
= I akp (opl - Oip Oit - Ojp Ojt + Oip Ojt + Ojp Oit)
p=I
=
akL - aki <5;1 - akJ ÔJt + aki ô JL + ak.i O;L
Ainsi, pour toute colonne l différente de la colonne i et de la colonne j :
(AS iJ)kt = akl
et, pour la colonne i: (AS iJ )ki = aki - aki - akJ OJi + aki OJi + akJ = akJ·
De même, pour la colonne j :
(AS iJ ti = akJ - aki OiJ - akJ + aki OJJ + akJ OiJ = aki
qui est le résultat cherché.
4. Matrice de dilatation
Définition
n étant un entier naturel non nul, et À un réel non nul différent de 1, on appelle matrice
de dilatation, toute matrice de M ,,(IR) de la forme:
1
Di(A) =
À
= l n + (À - 1) Eii , i E { 1, . . . , n}
1
(Les coefficients non écrits sont nuls.)
Proposition
•
Pour toute matrice A de M 11 (1R), et tout réel non nu] À * 1, le produit A Di(À) de la
matrice A par la matrice de dilatation Dhl), i E { 1, . .. , n}, est la matrice obtenue à
partir de A en multipliant la iième colonne par Il.
Démonstration : À !'aide de la formule du produit matriciel, on peut exprimer le terme
situé ligne k et colonne l de la matrice A Di( À), qui vaut :
I!
I akp (Dï(À))p 1
p= I
Il
= 2.:akp (op1 + (11. - I)opiOti)
p=l
akl + aki (À - 1) Ôü
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