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Proposition
Lorsque l'on est dans M 11 (R), c'est-à-dire lorsque les matrices sont carrées :
V(i, j,k,l) E {1, ... , n)
4 : EijEk1 = ÔjkEil
Démonstration : On a: Eij = (oim Ôjp) 1
1
.
Ek1 = (okm ô1p) 1
1
•
~m~n, ~p~n
~m~n, ~p~n
La formule du produit matriciel permet alors d'exprimer le terme d'indices m, p de la
matrice produit Eij Ek1 :
//.
( Eij Ek1)
= ~ (Eij ) (Ek1)qp
mp
L...J
mq
q=I
Il
= I Ôim Ôjq Ôkq Ô1p
q= I
Oirn Ojj Okj 81p
Ôim okj 81p
(Le seul terme non nul de la somme est obtenu pour q = ).)
On reconnaît ainsi : Eij Ekt = Ôjk Eil.
3. Matrice de transposition
Définition
n étant un entier naturel non nul, on appelle matrice de transposition, ou encore,
matrice de permutation, toute matrice carrée d'ordre n, de la forme :
00 .. . 0 1 0 .. ... .. .. 0
l
s ij =
1
0 . . . 0 1 0 .. . 0 0
1
l
(i, )) E { J, .. . , n)
2 , i -:/= j
(Les coefficients non écrits sont nuls.)
Proposition
•
Pour toute matrice A de Mn(R), le produit AS ij de la matrice A par la matrice de permutation S ij' (i, j) E { l , .. . , n}
2 , i * j , est la matrice obtenue à partir de A en échangeant
les colonnes i et ).
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