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Le déterminant d ' une matrice et de sa transposée étant égaux, les propriétés d'invariance du
déterminant par opérations élémentaires sur les vecteurs colonnes de la matrice sont également
valables pour les lignes de la matrice.
2. Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des termes diagonaux.
Démonstration : Il suffit de développer par rapport à la première colonne.
•
3. Le déterminant d'une matrice diagonale est égal au produit des termes diagonaux.
Démonstration : Une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire .
•
Définition
On appelle déterminant de trois vecteurs û = (u1, u2, u3), ïJ
w = (w 1 , w 2 , w 3 ) de l'espace IR
3 , le détermjnant de la matrice :
U ( V ( WJ
det(U, V, W) = U2 V2 W2
U3 V3 W3
4. Trois vecteurs a = (u,, u2, u3), ü = (v , 'v2, V3), w = (w,, w2, w3) de l' espace IR 3 ,
sont non coplanaires si et seulement si leur déte1minant est non nul :
UJ Ut WJ
det(û, ü, w) = u2 v2 w2 * 0
U3 V3 W3
Démonstration : On démontre ce résultat par la contraposée : trois vecteurs û =
(u1, u2, uJ), Ü = (v1, v2, vJ), w = (w1, w2, w3) sont liés si et seulement si leur déterminant est nul.
• Supposons il, ïf, w liés; alors, soit la fam ille (it, û') est liée, soit w E IR it +IR Ü.
Dans le premier cas, soit û = 0, ce qui conduit immédiatement à det(it, û, w) = 0 , soit
il existe un réel œ tel que il= œ ïf. On a alors :
det(ü, ü, w) = det(œ ü, ü, w) = œ det(û, û, w) = œ det(û - û, û, w) = 0
en utilisant l'invariance du déterminant par transvection.
Dans le second cas, il existe deux réels A et µ tels que w
det(u, û, w) = det(u, ïJ, A il+µ û') = det(it, û, Ü) = O
(On utilise l'invariance du déterminant par transvection.)
A il + µ ïf. Par suite
• La réciproque se démontre par le calcul, de façon analogue à ce qui a été fait en
dimension 2.
•
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