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Démonstration : Ce résultat s'obtient immédiatement à partir de la formule donnant le
développement suivant une ligne ou une colonne.
•
si on développe par rapport à une llgne :
det A = etii 1 a22 a23, _ a, 2 , a21 a23 I + a 13 I a21 a22 I
a32 a33
a31 a33
a31 a32
= - C121
2. et si on développe par rapport à une colonne :
det A = a11 la22 a23 l- a21 la12 a1 3l+a3 1 IC/ 12 C/131
a32 a33
a32 a33
et22 a23
2. Propriété
1. Étant donnée une matrice de taille 3 x 3, A = (aij) 1
. 3 1 . 3
, dont on désigne
~'~, ~}~
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par C 1 , C2, C3 les vecteurs colonnes, le déterminant de la matrice A vérifie les
propriétés suivantes :
• Antisymétrie :
L' antisymétrie traduit le fait que le déterminant change de signe si on échange
deux colonnes.
• Homogénéité :
• Invariance par transvection : V (Il, µ ) E JR 2 :
det ( C1 , C2 + ÀC1 , C3) = det(C1 , C2,C3 + llC1)
det (C1 + ,tC2,C2,C3)
= det ( C 1 + ÀC2 + µC3, C2,C3)
La valeur du déterminant ne change pas si , à une colonne donnée, on ajoute une
combinaison linéaire des autres colonnes.