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Déterminant de matrices
de taille 3 x 3
1. Définitions
>- Mineur
Soit A E M 3(1R).
Étant donné (i, )) E { 1, . .. , 3 }
2 , on appelle mineur d ' indice (i, j ) le déterminant, noté
Liij(A), de la matrice obtenue e n enlevant à A la ligne i et la colonne).
>- Cofacteur
Soit A E M3(1R).
Étant donné (i, )) E { 1, 2, 31
2 , on appelle cofacteur d ' indice (i, j ) :
(-Ii+j LiiJ(A)
>- Comatrice
Soit A E M3(1R).
On appeJJe comatrice de la matrice A, et on note ComA E M 3 (IR) la matr ice des
cofacteurs :
ComA - (C-l)i+j Li .. (A))
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>- Déterminant
Étant donnée A E M 3(1R), on appelle déterminant de la matrice A = (aiJ) .
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1 ~1.~3. 1 ~;~3
nombre, noté det A, qui peut être calculé de la façon suivante :
• par un développement suivant la ligne i , i E { 1, ... , 3} :
3
det A = _L.c-1i+j aiJ LiiJ(A)
j = l
• par un développement suivant la colonne j , j E { 1, . .. , 3} :
3
det A = _L.c-1i+j aij1Îi_;(A)
i= 1
On choisit la ligne ou la colonne que l'on veut; quel que soit Je choix , on obtient bien sûr le
même résultat !
Proposition
Une matrice de taille 3 x 3 et sa transposée ont le même déterm inant :
213
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