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Le déterminant d' une matrice et de sa transposée étant égaux, les propriétés d'invariance du
déterminant par opérations élémentaires sur les vecteurs colonnes de la matrice sont également
valables pour les lignes de la matrice.
2. Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produ it des termes diagonaux.
Exemples
1.
2.
I ~ ~ 1= 1 X3 - 2 X 1=3 - 2 = 1
1
-1 11
3 4
= - 1 X 4 - 3 X 1 = - 4 - 3 = - 7
3. Deux vecteurs ü = (u 1 , u 2 ) et ü = (v 1 , v 2 ) du plan sont non colinéaires si et seulement si leur déterminant est non nul :
det(Ü, Ü) = 1 U( V( 1 :;t: Û
u2 v2
Démonstration : On démontre ce résultat par la contraposée : deux vecteurs û = (u 1 , u 2 )
et Ü = (v1, v2) du plan sont liés si et seulement si leur déterminant est nul.
• Supposons û et û liés et tels que i1 = Ô ou û = Ô; on a alors, clairement,
det(û, Ü) = 0
• S upposons 1 1 et û liés et tels que û :;t: Ô et ïJ :;t: Ô, il existe alors un réel non nul À tel
que :
Par suite:
det(ü, À Ü) = À det(û, Ü) = 0
• Réciproquement, si det(ü, Ü) = 0, alors :
UJ Uz - Uz v, = 0
Si v2 =F 0:
Comme:
on a donc:
les vecteurs ü et û sont bien liés.
On démontre de même le résultat dans le cas où u 2 :;t: O.
Lorsque u 2 = u 2 = 0, u 1 et v 1 peuvent prendre chacun une valeur quelconque dans R
Les vecteurs û et ü sont alors colinéaires, et donc liés.
•
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