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Déterminant de matrices
de taille 2 x 2
1. Définitions
>- Déterminant d'une matrice
Étant donnée une matrice de taille 2 x 2, A = (aiJ) . . , on appelle déterminant
l ,,;1,,;2, l,,;j ,,;2
de la matrice A le nombre :
Proposition
Une matrice de taille 2 x 2 et sa transposée ont le même déterminant :
Démonstration : Il suffit de reprendre la formule donnée en définition.
>- Déterminant de 2 vecteurs
•
On appelle déterminant de deux vecteurs ïl = (u1 , u2) et ïJ = (v1, v2) du plan JR 2 , le
nombre:
det(Ü, Ü) = 1 u, u, 1 = UJ v2 - u2 V1
u2 v2
C'est donc, tout simplement, le déterminant de la matrice :
(
u 1 v 1 )
u2 v2
2. Propriétés
1. Étant donnée une matrice de taille 2x2, A = (aij) . . , dont on désignera par
l ,,;1 .,,;2, 1,,;j ,,;2
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C 1 et C2 les vecteurs colonnes, le déterminant de la matrice A vérifie les propriétés
suivantes:
• Antisymétrie :
L' antisymétrie traduit le fait que le déterminant change de signe si on échange
deux colonnes.
• Homogénéité :
• Invariance par transvection :
La valeur du déterminant ne change pas si on ajoute, à une colonne donnée,
l'autre colonne multipliée par un facteur À..