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Nous avons présenté, dans ce qui précède, les transformations usuelles que sont les
translations, les homothéties, rotations et similitudes. Il en existe une infinité d'autres.
L'ensemble de Mandelbrot
En particulier, considérons la transformation du plan complexe z E
2
Zn+l = Z 11 + C
Si on représente, dans le plan complexe, les images successives des termes de cette
suite, on obtient la figure suivante (les zones les plus claires sont celles avec les plus
faibles concentrations de points, la couleur fonce en lien avec cette concentration).
L'ensemble de Mandelbrot.
C'est l'ensemble de Mandelbrot, obtenu par le mathématicien Benoît Mandelbrot,
qui, pour la désigner, créa le terme de fractale [12]. Depuis, on désigne par fractale une courbe de forme a priori irrégulière, mais dont la construction résulte en
fait d'un processus itératif, parfois très simple, poussé à l'infini. Les propriétés de
l'ensemble de Mandelbrot ont été étudiées de façon approfondie par Adrien Douady
et John H. Hubbard [11], qui ont mis en évidence une propriété remarquable de ce
type d'ensembles : leur auto-similarité, c'est-à-dire le fait que ces fi gures semblent
se reproduire à l'intérieur d'elles-mêmes de façon infinie. En faisant un « zoom» sur
une partie du dessin, on s'aperçoit ainsi qu'on retrouve exactement la même forme
que la figure initiale, en plus petite certes, mais en tout point semblable.
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translations, les homothéties, rotations et similitudes. Il en existe une infinité d'autres.
L'ensemble de Mandelbrot
En particulier, considérons la transformation du plan complexe z E
2
Zn+l = Z 11 + C
Si on représente, dans le plan complexe, les images successives des termes de cette
suite, on obtient la figure suivante (les zones les plus claires sont celles avec les plus
faibles concentrations de points, la couleur fonce en lien avec cette concentration).
L'ensemble de Mandelbrot.
C'est l'ensemble de Mandelbrot, obtenu par le mathématicien Benoît Mandelbrot,
qui, pour la désigner, créa le terme de fractale [12]. Depuis, on désigne par fractale une courbe de forme a priori irrégulière, mais dont la construction résulte en
fait d'un processus itératif, parfois très simple, poussé à l'infini. Les propriétés de
l'ensemble de Mandelbrot ont été étudiées de façon approfondie par Adrien Douady
et John H. Hubbard [11], qui ont mis en évidence une propriété remarquable de ce
type d'ensembles : leur auto-similarité, c'est-à-dire le fait que ces fi gures semblent
se reproduire à l'intérieur d'elles-mêmes de façon infinie. En faisant un « zoom» sur
une partie du dessin, on s'aperçoit ainsi qu'on retrouve exactement la même forme
que la figure initiale, en plus petite certes, mais en tout point semblable.
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