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• Lorsque a = - 1 : la similitude z H - z + b, b E C, est une symétrie centrale, dont le
centre est le point d'affixe ~.
2. Composée de deux similitudes
La composée de deux similitudes est une similitude.
Démonstration: Considérons les simi litudes S 1 : z H a 1 z + b 1 , et S 2 : z H a1 z + b2 .
Soit M un point du plan, d' affixe z; M1, d'affixe z1, son image par S l ·
L'affix e z2 point M1, image de M 1 par S 2, est donc donnée par:
z2 = a1 z 1 + b2 = a1 (a 1 z + b 1) + b2 = a 1 a1 z + a1 b 1 + b2
S 2 o S 1 est donc bien une similitude, de rapport la1 a1 I = la1 l la2I.
•
Considérons maintenant une application z H a z + b, a E C*, b E C.
L'ensemble des points invariants est l'ensemble des points d'affixe
z = az + b, ce qui entraîne: z = az + b. Par suite: z = aaz + ab+ b.
A . · 1 I 1
ab + b
10s 1, s1 a * : z = 1
_ lal 2 .
On vérifie, que, réciproquement :
ab+b b
aab + ab+(l - lal 2 )b
a
+ = ~~~~~~~~1 - lal 2
1 - lal 2
aiib + ab+ (1 - lal 2 )b
=
1 - lal2
ab + b
=
1 - lal2
z tels que
L'application z H a z + b admet donc pour centre, dans Je cas lal * 1, Je point n , d'affixe
ab +b
zn = 1 - lal2 ·
D'autre part, si on considère un point M distinct de n, d'affixe z, et son image M',
d'affixe z' = a z + b, alors :
QM'
D.M
=
M'Q
MD.
ab+b - az- b
l -lal 2
a b+b _ z
1- la1 2
= lab + b - ~(l - lal
2 )Z - b(l - lal
2 )1
ab + b - (l - lal 2 ) z
=
=
=
l
ab-a(l - lal
2 )Z+b k11
2 1
ab + b - (1 - lal
2 ) z
a (b - (1 - lal
2 ) z + ba)
ab + b- (l- lal 2 ) z
a (b-(1- laf)z+ba)
ab+b - (1-lal 2 ) z
lai
lal
(un nombre complexe et son conjugué ayant même module).
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