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De plus :
(M~.ry + (7. ~M~)
-arg (z-;-t) + arg (z-;-t)
M1M2
M3M.1
-arg(z2 - z~) + arg(z~ - z3)
-arg (a ( Z2 - z1 )) + arg (a (Z4 - Z3 ))
(2n]
[2n]
[2n]
[2n]
= - arg(a) - arg (22 - z1) + arg(a) + arg (z4 - 23) [2 n]
- arg(z2 - z1) + arg(z4 - z3)
[2n]
-arg(zM;-M;) + arg(zMJM:)
[2n]
(Mi M:M3M 4)
[21l']
Les angles sont donc conservés par l'application z H az + b.
Enfin:
( ~ r) + (üi~~)
[21l']
-arg (zn;;;;) + arg(zfïMt )
f21l')
=
-arg(z - _ b _ )+arg(a z +b- _ b _ )
f2n]
1 -a
1-a
- arg(( l - a) z - b) + arg(a( l - a) z - ab)
[2 rr]
= - arg((l - a) z - b) + arg(( l- a) z - b) + arg(a) [2rr]
arg (a)
[2 rr]
Lorsque a = 1, on retrouve l'expression analytique d ' une translation.
Définition
On appelle similitude (directe), une application de C dans C, de la forme :
z H a z + b où a E C*, et b E C
Le rapport de la similitude est lai, l'angle, arg (a) r2 7r].
>- Conservation des angles orientés
Une similitude directe conserve les
angles orientés.
La fi gure suivante montre l'action de similitudes successives sur cinq triangles, à qui
on fait subir une rotation ayant pour centre
le centre de gravité du pentagone central,
puis une homothétie de même centre, de
rapport strictement plus petit que un. Et on
tourne ... Similarité à l'infini!
Figure 53.1- Transformation de triangles par
similitudes.
>- Similitudes directes remarquables
• Lorsque a = l : la similitude z H z + b, b E C , est une translation de vecteur il, où le
vecteur û a pour affixe b.
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