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Transformations du plan : similitudes
Et si on composait une rotation et une homothétie ? On fait tourner, et on agrandit ou on
rétrécit ... ou l'inverse !
En géométrie euclidienne, une similitude est ainsi une transformation qui multiplie
toutes les distances par une constante fixe (son rapport), et conserve ou inverse le sens
des angles orientés. Ainsi, l'image de toute figure par une telle application est une figure
«similaire», ou « de même forme ».
1. Similit udes directes
Considérons, dans un premier temps, l' homothétie de centre n, de rapport k; si on désigne par zn l'affixe du point Q , le point M', image du point M d 'affixe z, a pour affixe:
z' = zn + k (z - zn).
Considérons, ensuite, la rotation de centre Q , d'angle(:); le point M", image du point
M' , a pour affixe :
z" =
zn + (z' - zn) ei
8
' ()
= zn + (zn + k (z - zn) - zn) e
1
zn + k (z - zn) ei B
( 1 - k ei 8 ) zn + k z ei B
Réciproquement, considérons une application de la formez H a z + b, a E C* , b E C.
Lorsque a * 1, l'ensemble des points invariants est l'ensemble des points d'affixe z
tels que z = az + b, soit: z = _ b __
l - a
Le point Q , d'affixe zn = _b_' est donc le centre de l'application considérée.
1 - a
D 'autre part, si on considère un point M distinct de n, d'affixe z, et son image M',
d 'affixe z' = az + b, alors :
M'n
- =
l
zn - z' 1
Mn
Zn - Z
b
- - a z -b
1-a
b
- - z
1 - (1
= 1b - a( l - a) z - b( l - a) 1
b - (1 - a)z
=
la(b-( 1-a) z) I
b - ( 1 - a) z
lal
Ainsi, M'Q = QM' = lai MQ = lai QM. La relation reste valable lorsque M coïncide
avec Q .
L'application z H az + b multiplie donc les distances par lal.
Enfin, considérons quatre points M1, M1, M3, M4, tels que Mi * M1, M3 * M4,
d 'affix es respectives z 1 , z2, z3, z 4 , et leurs images M~ , M~ , M~ , M~, d'affixes respectives
Zi, z~. z;, z~ . On a alors M~ * M~ et M~ * M~.
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