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>- Expression analytique d'une rotation de centre n
Le point M', image du point M d'affixe z, par la rotation de centre Q, d'angle B, a pour
affixe: z' = Zn + (z - zn) eifl OÙ Zn est l'affixe de Q.
Réciproquement, une application de la fonne z E C H zn + (z - zn) ei
8 est la rotation
de centre n, d'angle B.
-~ ~
Démonstration: Si M est distinct de Q, la relation (QM, QM') = (J [27r] entnûne:
( )
~~
~--~
arg zn;;r = (i,QM) + (QM,QM') [27r]
= arg(zruJ) + 0 [27r]
Com me: Z----+ = lz----+I /arg(zru:t1 ) = lz----+I ei(arg(zi'iM)+B) = lz----+I eiarg(zi'iM) eifl
nM'
'.QM'
nM
'nM
alors : Z----+ = Z----+ ei 8 , soit: z' - zn = (z - zn) ei 8 et donc : z' = zn + (z - zn) ei 8 .
nM'
nM
On remarque que la relation reste encore vraie lorsque M coïncide avec n.
La démonstration de la réciprocité est laissée au lecteur.
3. Composée de deux rotations
La composée de deux rotations de
même centre n, d'angles respectifs œ et
/3, est une rotation de centre n , d'angle
œ +/3.
j
0 ->
i
.o.
z'
,
.z
Figure 52.3- La composée de deux rotations de
mê me ce ntre n. d'angles respectifs œ et f3.
•
Démonstration: Soit z' l'affixe du point M', image du point M d'affixe z E C par la
rotation rn, a, de centre n, d'angle œ. On désigne par Zn l'affixe den.
D'après ce qui précède :
z' = zn + (z - zn)eia
Soit z" l'affixe du point M", image du point M' d'affixe z' par la rotation rn,p. de centre
n, d'angle f3.
De même que précédemment, on montre que: z" = zn + (z' - zn)eif3 .
Par suite:
z" = zn + (z' - zn) eif3 = zn + (zn + (z - zn) ei a - zn) eif3
soit : z" = z.n + (z - zn) ei (a+f3) .
D'où le résultat, qui était naturellement prévisible, comme on peut le constater sur le
dessin!
•
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