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Transformations du plan : rotations
1. Rotation de centre 0
Définition
œ étant un réel, on appelle rotation de
centre O, d'angle œ, l'application ro,œ
qui, à tout point M du plan distinct de
0 , associe le point M' tel que :
{
~
= OM
~ ~
(OM, OM') = a [2nl
en laissant le point 0 invariant.
Oj
z' ,.
,
Figure 52.1- La rotation de centre 0, d'angle œ.
>-- Expression analytique d'une rotation de centre 0
Le point M', image du point M d'affixe z, par la rotation de centre 0, d'angle a, a pour
affixe : z' = z ei œ.
Réciproquement, une appl ication de la formez E C H z ei œ est la rotation de centre 0 ,
d'angle œ.
---Démonstration :
~~
Si M est distinct de 0, la relation (OM, OM') = œ [2 n] entraîne :
arg (zo;W) = (i,--;)M) + (O;;;,oM') [2rr]
=
arg(zO"M) +œ
[2rr]
Comme: z~ = l z___,I eiarg(zOMI) = lz--.1 ei(arg(züM)+a) = lz--.1 eiarg(züM) eiœ
OM'
OM'
OM
OM
alors: z~ = ZQ'M eiœ, soit: z' = zeiœ
On remarque que la relation reste encore vraie lorsque M coïncide avec O.
La démonstration de la réciprocité est laissée au lecteur.
2. Rotation de centre Q
Définition
() étant un réel, on appelle rotation de
centre Q, d'angle 0, l'application rn,e,
qui, à tout point M du plan, distinct de
n, associe le point M' tel que :
{
~
=QM
~ ~
(QM,QM') = 0 [2n]
en laissant le point Q invariant.
198
~
j
• z'
\
1
\
1
8
,. z
Figure 52.2- La rotation de centre n, d'angle 8.
•