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>- Décomposition en éléments simples sur ~{X) d'une fraction rationnelle impaire
Soit R une fraction rationnelle, à coeffici ents dans le corps Ill, impaire, c'est-à-dire telle
que :
R(- X) = - R(X)
Soit alors:
R(X) = R(X) + ~ { œx; , I + œx;,2
2
+ .. . + œx;,k }
f;;t X - Xi (X - Xi)
(X - Zi)'li
I
r {
f3i 1 X +'Yi!
f3i e, · X + Yi t,·
}
+
,
+ . . . +
'
,
. X2 + A·1 X + µ·1
(X 2 +X e. X + µ ·e.)e;
1= (
l
t .
1, l
1, l
k n;
r
f;
/3 X +
= R(X) + I I œ~;,j. j + I I i,j . . 'Yij .. j
i= l .i= l (X x,)
i= l .i= l (X2 + À,1 X+ µ,1)
la décompos. ition en éléments simples de R dans R(X).
Alors:
R
-(X)
a x; ,I
Œx; ,2
Œx;,k
k {
}
-
-
- - +
+ . .. +
-8 X - Xi (X - zï) 2 (X - Xi)n;
I
r {
/3i 1 X + Yit
/3i t · X + Yit, ·
}
-
'
+
+
' I
'
.
X 2 + Xi X + µ·1 . . . (X 2 + X e. X+ µ· e.)t;
t=I
l
l
l , I
l , l
=
k {
}
R
-( X)
œx;, I
œx; ,2
œx;,k
- +
+
+ . .. +
I - X - x· (- X - x-) 2
(- X - x-)
11 ;
i= l
1
l
/.
I
r {
f3i 1 X+ Yi !
f3i e X + Yït·
}
+
,
+ .. . +
, ,
, ,
.
X 2 - X1 X + µ ·1
(X 2 - X t · X + µ · e. )e;
1= ]
t .
t .
l , 1
l , l
ce qui permet d' obtenir des relations entre les coefficients Œx;,.i• (i, j) E { 1,. . ., k} x
{ l , ... , nk ), d'une part, /3i.i et Yi.i• (i, j) E { 1, .. . , r) x { 1, .. . , ld d'autre part, et donc de
simplifier le calcul de ceux-ci.
Exemple
Décomposons dans R(X) : R(X) = X 4 X .
- l
Comme X
4 - l = (X
2 - 1) (X
2 + 1) =(X - 1) (X+ 1) (X
2 + 1), la décomposition de R en éléments
simples (réels) est de la forme :
R(X) = ~ + ...!::.:l_ + f3 X+ y
X - 1 X + l
X2 + 1
Par imparité de R, on en déduit:
œi
Œ-1.
{:JX + y
œi
- - + - - +
= - - -
X - 1 X+ l
X 2 + 1
- X - 1
JI en résulte :
Œ-1
- X+ 1
Œ J = Œ- 1 , '}' = - y
ce qui conduit immédiatement à y = O.
194
-f:J X+ 'Y
x 2 + 1