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Alors:
k
R - (X) L { œxi,1
œx;,2
œx;,k
}
+
- - +
2 + . .. +
i=I
X - Xi (X - Zi)
(X - Xj)
11
i
~ { /3i, J X + Yil
/3i,t; X+ Yi,t;
}
+ L.J
+ · · · + 2
e· =
i= 1 X2 + Ài1 X + µi1
(X + Ài,t; X + µi,e)
1
R -( X) Lk { œx;, l
œx;,2
œx;,k
}
- +
+
+ . .. + - - - -
i=I
- X - Xi (- X - Xi) 2
(-X - Xi)n;
I
r {
/3; 1 X + 'Yil
/3it- X+ YiC, ·
}
+
'
+ .. . +
' 1
'
.
X 2 - !l·1 X +µ·1
(X 2 - X e. X + µ· e.)e;
t=I
t
t .
,, ,
t,'
ce qui permet d'obtenir des relations entre les coefficients ax;,J• (i, j) E { 1, .. . , k} x
{l, ... , nd, d'une part, /3iJ et YiJ• (i, j) E { 1, ... , ri x { l , .. . , é'd d'autre part, et donc de
simpl ifier Je calcul de ceux-ci.
Exemple
x2
Décomposons dans R(X): R(X) = - 4
-
.
X - 1
Comme X
4 - 1 = (X 2 - 1) (X 2 + 1) = (X - 1) (X+ 1) (X 2 + 1 ), la décomposition de R en éléments
simples (réels) est de la forme :
RX
œ1
a-1
f3X+y
( ) = -X- - -1 + _
X_+_l + _ X_ 2 _+_1
Par parité de R, on en déduit :
ai
Œ-1
/3 X +y
ai
Œ- 1
-/3 X + y
- - + - - +
=
+
+ - - -
X - 1 X + 1 X 2 + 1
- X - 1 - X + 1
X2 + 1
TI en résulte: œ1 = - a -1 , f3 = -/3, ce qui conduit immédiatement à/3 =O.
Pour déterminer a 1 , on multiplie membre à membre ( *) par X - 1, ce qui conduit à :
X
2
œ- 1 (X - 1) y(X - 1)
- - - - - - - a +
+ - - -
(X+ 1) (X 2 + 1) -
1
X+ l
X 2 + 1
En évaluant cette dernière expression en 1, on obtient :
l
- =ai
4
On peut alors en déduire a-i = - a 1 = - ~.
La valeur de y peut être obtenue, par exemple, en évaluant la valeur de R(X) en 0 :
ce qui conduit à :
R(O) = 0 = - œ1 + a _, +y
1
y=œ1 - a - 1= -
2
La décomposition en éléments simples cherchée est donc :
x
2
1
i
i
- - =
-
+ - - - -
X4 - I
4(X - l ) 4(X + l) 2(X2+ l)
193
Il\
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u
- n:s
u
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