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>a.
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Pour déterminer a 1 , on mu ltiplie membre à membre (* )par X - j , ce qui conduit à :
X - 1 - (X - 1.) ao + a . + (X - 1.) _.!!.j_
X (X - j2) -
X
1
X - j2
En évaluant cette dernière expression en j, on obtient :
j - 1
=a ·
j (j - j2)
J
soit :
j - 1
j - 1
1
1
j
.
- - =
= - - = - - = - - = - 1=œ ·
j2 - 1 (j - 1 )(j + 1) j + 1
j2
p
J
puisque j
3
= 1, et 1 + j + j2 = O.
On détermine de même ap en multipliant membre à membre ( *) par X - j2, ce qui conduit à :
X - 1
. 2 a 0
. 2
a 1
X (X - j) =(X - 1 ) X+ (X - 1 ) X - j + œp
En évaluant cette dernière expression en j2, on obtient :
j2 - 1
- - - = a ·2
j2 (j2 - j)
J
soit :
l - 1 (j - 1) (j + 1) . .
·2
-
j - 1 = j - 1
=1+l= - .1 =œ1 =œp
puisque P = 1, et 1 + j + j2 = O. Ainsi :
R(X) =
1 j
j2
- - - - - - -
XX - j X - j2
I
j (X - j2) + j2 (X - j)
= X
(X - p (X - j2)
1 (.i + .i )X - 2.P
=
X 1 x2Xf2+ 1
- - + - - - -
X
X 2 +X + l
=
> Décomposition en éléments simples sur R(X) d'une fraction rationnelle paire
Soit Rune fraction rationnelle, à coefficients dans le corps R, paire, c'est-à-dire telle que
R(- X) = R(X)
Soit
R(X) = R(X) + f, { œx; , I + œx;,2
2
+ .. . + œx;,k }
ft X - Xi (X - Xi)
(X - Zi)'
1
i
I
r {
f3i 1 X +"'il
f3ï e X + l'if
}
+
,.
{
+
+
' 1
, l
. X2 + ll-1 X +µ·1 . . . (X 2 +X e. X + µ· e. )e;
t= I
t
t
t ,'
t ,'
_ -
f, ~ œx;,j fi ~ f3i.j X+ 'Yij
- R(X) + L.J L.J
. + L.J L.J X2
.
i= I .i= I (X - Xi)J
i= l j = I (
+ Àij X + µij)J
la décomposition en éléments simples de R dans R(X).
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